En matemáticas , el calificador puntualmente se usa para indicar que una determinada propiedad se define considerando cada valor de alguna función Una clase importante de conceptos puntuales son las operaciones puntuales , es decir, operaciones definidas en funciones aplicando las operaciones a valores de función por separado para cada punto en el dominio de definición. Las relaciones importantes también se pueden definir puntualmente.
Operaciones puntuales
Definicion formal
Una operación binaria o : Y × Y → Y en un conjunto Y puede elevarse puntualmente a una operación O : ( X → Y ) × ( X → Y ) → ( X → Y ) en el conjunto X → Y de todas las funciones de X a Y de la siguiente manera: Dadas dos funciones f 1 : X → Y y f 2 : X → Y , defina la función O ( f 1 , f 2 ): X → Y por
- ( O ( f 1 , f 2 )) ( x ) = O ( f 1 ( x ), f 2 ( x )) para todo x ∈ X .
Comúnmente, O y O se denotan con el mismo símbolo. Una definición similar se utiliza para las operaciones unario o , y para las operaciones de otra aridad . [ cita requerida ]
Ejemplos de
dónde .
Consulte también producto puntual y escalar .
Un ejemplo de una operación sobre funciones que no es puntual es la convolución .
Propiedades
Las operaciones puntuales heredan propiedades tales como asociatividad , conmutatividad y distributividad de las operaciones correspondientes en el codominio . Sies una estructura algebraica , el conjunto de todas las funcionesal conjunto de portador de se puede convertir en una estructura algebraica del mismo tipo de forma análoga.
Operaciones por componentes
Las operaciones por componentes generalmente se definen en vectores, donde los vectores son elementos del conjunto por algún número natural y algo de campo . Si denotamos el-ésimo componente de cualquier vector como , entonces la adición de componentes es .
Las operaciones por componentes se pueden definir en matrices. Adición de matriz, dondees una operación por componentes, mientras que la multiplicación de matrices no lo es.
Una tupla puede considerarse una función y un vector es una tupla. Por lo tanto, cualquier vector corresponde a la función tal que , y cualquier operación de componentes sobre vectores es la operación puntual sobre funciones correspondientes a esos vectores.
Relaciones puntuales
En la teoría de órdenes es común definir un orden parcial puntual en funciones. Con A , B posets , el conjunto de funciones A → B se puede ordenar por f ≤ g si y solo si (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ). Los pedidos puntuales también heredan algunas propiedades de los posets subyacentes. Por ejemplo, si A y B son celosías continuas , entonces también lo es el conjunto de funciones A → B con orden puntual. [1] Usando el orden puntual en funciones, uno puede definir de manera concisa otras nociones importantes, por ejemplo: [2]
- Un operador de cierre c en un poset P es un automapa monótono e idempotente en P (es decir, un operador de proyección ) con la propiedad adicional de que id A ≤ c , donde id es la función de identidad .
- Del mismo modo, un operador de proyección k se llama un operador kernel si y sólo si k ≤ ID A .
Un ejemplo de una relación infinitaria puntual es la convergencia puntual de funciones: una secuencia de funciones
con
converge puntualmente a una función si para cada en
Notas
Referencias
Para ejemplos de teoría de órdenes:
- TS Blyth, Celosías y estructuras algebraicas ordenadas , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 .
- G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove, DS Scott : Continuous Lattices and Domains , Cambridge University Press, 2003.
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