Distribución binomial

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución binomial con parámetros n y p es la distribución de probabilidad discreta del número de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes , cada uno con una pregunta de sí o no , y cada uno con su propio resultado con valor booleano : éxito (con probabilidad p ) o fracaso (con probabilidad q  = 1 −  p ). Un solo experimento de éxito/fracaso también se denomina prueba de Bernoulli .o experimento de Bernoulli, y una secuencia de resultados se denomina proceso de Bernoulli ; para un solo ensayo, es decir, n  = 1, la distribución binomial es una distribución de Bernoulli . La distribución binomial es la base de la popular prueba binomial de significación estadística . ^[1]

La distribución binomial se usa con frecuencia para modelar el número de éxitos en una muestra de tamaño n extraída con reemplazo de una población de tamaño N. Si el muestreo se realiza sin reposición, los sorteos no son independientes y por tanto la distribución resultante es una distribución hipergeométrica , no binomial. Sin embargo, para N mucho mayor que n , la distribución binomial sigue siendo una buena aproximación y se usa ampliamente.

En general, si la variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros n ∈ y p ∈ [0,1], escribimos X  ~ B( n ,  p ). La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n pruebas independientes de Bernoulli viene dada por la función de masa de probabilidad :${\ estilo de visualización \ mathbb {N}}$

es el coeficiente binomial , de ahí el nombre de la distribución. La fórmula se puede entender de la siguiente manera: k los éxitos ocurren con probabilidad p ^k y n  −  k los fracasos ocurren con probabilidad (1 −  p ) ^{n  −  k} . Sin embargo, los k éxitos pueden ocurrir en cualquier lugar entre los n intentos, y existen diferentes formas de distribuir k éxitos en una secuencia de n intentos.${\displaystyle {\binom{n}{k}}}$

Al crear tablas de referencia para la probabilidad de distribución binomial, generalmente la tabla se llena hasta n /2 valores. Esto se debe a que para k  >  n /2, la probabilidad se puede calcular por su complemento como

Mirando la expresión f ( k ,  n ,  p ) como una función de k , hay un valor de k que la maximiza. Este valor de k se puede encontrar calculando

Distribución binomial para con n y k como en el triángulo de Pascal La probabilidad de que una pelota en una caja de Galton con 8 capas ( n  = 8) termine en el recipiente central ( k  = 4) es .${\ estilo de visualización p = 0,5}$


${\ estilo de visualización 70/256}$

Aproximación de la función de masa de probabilidad binomial y la función de densidad de probabilidad normal para n  = 6 y p  = 0,5