En matemáticas , en el área de la teoría clásica del potencial , los conjuntos polares son los "conjuntos despreciables", similar a la forma en que los conjuntos de medida cero son los conjuntos despreciables en la teoría de medidas .
Definición
Un conjunto en (dónde ) es un conjunto polar si hay una función subarmónica no constante
- en
tal que
Tenga en cuenta que hay otras formas (equivalentes) en las que los conjuntos polares pueden definirse, como sustituyendo "subarmónico" por "superarmónico", y por en la definición anterior.
Propiedades
Las propiedades más importantes de los conjuntos polares son:
- Un singleton establecido en es polar.
- Un conjunto contable en es polar.
- La unión de una colección contable de conjuntos polares es polar.
- Un conjunto polar tiene la medida de Lebesgue cero en
Casi en todas partes
Una propiedad se mantiene en casi todas partes en un conjunto S si se mantiene en S - E donde E es un conjunto polar de Borel. Si P se mantiene en casi todas partes, entonces se mantiene en casi todas partes . [1]
Ver también
Referencias
- ^ Ransford (1995) p. 56
- Doob, Joseph L. (1984). Teoría del potencial clásico y su contraparte probabilística . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 262 . Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9. Zbl 0549.31001 .
- Helms, LL (1975). Introducción a la teoría del potencial . RE Krieger. ISBN 0-88275-224-3.
- Ransford, Thomas (1995). Teoría del potencial en el plano complejo . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 28 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46654-7. Zbl 0828.31001 .