Pons asinorum

Declaración de que los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son en sí mismos iguales

El pons asinorum en la edición de Byrne de los Elementos que muestra parte de la demostración de Euclides.

En geometría , la afirmación de que los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son ellos mismos iguales es conocido como los pons Asinorum ( América :  [pos asɪnoːrũː] , Inglés: / p ɒ n z ˌ æ s ɪ n ɔr ə m / PONZ ass-i- NOR -əm ), normalmente traducido como "puente de asnos ". Esta declaración es la Proposición 5 del Libro 1 en Elementos de Euclides ., y también se conoce como el teorema del triángulo isósceles . Su inverso también es cierto: si dos ángulos de un triángulo son iguales, entonces los lados opuestos a ellos también son iguales. El término también se aplica al teorema de Pitágoras . ^[1]

El nombre de esta afirmación también se usa metafóricamente para un problema o desafío que separará la mente segura de la simple, el pensador veloz de la lenta, la determinada del dallier, para representar una prueba crítica de habilidad o comprensión. Su primer uso conocido fue en 1645. ^[2]

Pruebas

Prueba de Proclo

Proposición 5 del Libro 1 de Elementos de Euclides; el pons asinorum

Euclides y Proclo

La afirmación de Euclides de la protuberancia asinorum incluye una segunda conclusión de que si los lados iguales del triángulo se extienden por debajo de la base, entonces los ángulos entre las extensiones y la base también son iguales. La demostración de Euclides implica dibujar líneas auxiliares a estas extensiones. Pero, como señala el comentarista de Euclides, Proclus , Euclides nunca usa la segunda conclusión y su demostración puede simplificarse un poco trazando las líneas auxiliares a los lados del triángulo, el resto de la demostración procede más o menos de la misma manera.

Ha habido mucha especulación y debate sobre por qué Euclides agregó la segunda conclusión al teorema, dado que hace que la demostración sea más complicada. Una explicación plausible, dada por Proclo, es que la segunda conclusión puede usarse en posibles objeciones a las pruebas de proposiciones posteriores donde Euclides no cubre todos los casos. ^[3] La demostración se basa en gran medida en lo que hoy se llama lado-ángulo-lado , la proposición anterior en los Elementos .

La variación de Proclo de la prueba de Euclides procede de la siguiente manera: ^[4]

Sea ABC un triángulo isósceles con AB y AC como lados iguales. Elija un punto arbitrario D en el lado AB y construya E en AC para que AD  =  AE . Dibuja las líneas BE , DC y DE .

Considere los triángulos BAE y CAD ; BA  =  CA , AE  =  AD , y es igual a sí mismo, por lo que por lado-ángulo-lado, los triángulos son congruentes y los lados y ángulos correspondientes son iguales.${\displaystyle \angle A}$

Por tanto y , y BE  =  CD .${\displaystyle \angle ABE=\angle ACD}$${\displaystyle \angle ADC=\angle AEB}$

Dado que AB  =  AC y AD  =  AE , BD  =  CE restando partes iguales.

Ahora considere los triángulos DBE y ECD ; BD  =  CE , BE  =  CD , y se acaban de mostrar, por lo que aplicando de nuevo lado-ángulo-lado, los triángulos son congruentes.${\displaystyle \angle DBE=\angle ECD}$

Por lo tanto y .${\displaystyle \angle BDE=\angle CED}$${\displaystyle \angle BED=\angle CDE}$

Dado que y , por sustracción de partes iguales.${\displaystyle \angle BDE=\angle CED}$${\displaystyle \angle CDE=\angle BED}$${\displaystyle \angle BDC=\angle CEB}$

Considere un tercer par de triángulos, BDC y CEB ; DB  =  EC , DC  =  EB y , por lo tanto, aplicando lado-ángulo-lado por tercera vez, los triángulos son congruentes.${\displaystyle \angle BDC=\angle CEB}$

En particular, el ángulo CBD  =  BCE , que debía probarse.

Pappus

Proclo da una prueba mucho más breve atribuida a Pappus de Alejandría . Esto no solo es más simple, sino que no requiere ninguna construcción adicional. El método de prueba consiste en aplicar el lado del ángulo al triángulo y su imagen especular. Autores más modernos, imitando el método de prueba dado para la proposición anterior, han descrito esto como levantar el triángulo, darle la vuelta y colocarlo sobre sí mismo. ^[5] Este método es satirizado por Charles Lutwidge Dodgson en Euclid and his Modern Rivals , llamándolo un " toro irlandés " porque aparentemente requiere que el triángulo esté en dos lugares a la vez. ^[6]

La prueba es la siguiente: ^[7]

Sea ABC un triángulo isósceles con AB y AC como lados iguales.

Considere los triángulos ABC y ACB , donde ACB se considera un segundo triángulo con vértices A , C y B correspondientes respectivamente a A , B y C en el triángulo original.

${\displaystyle \angle A}$es igual a sí mismo, AB  =  AC y AC  =  AB , entonces por lado-ángulo-lado, los triángulos ABC y ACB son congruentes.

En particular ,. ^[8]${\displaystyle \angle B=\angle C}$

Otros

Una prueba de libro de texto

Un método de libro de texto estándar es construir la bisectriz del ángulo en A . ^[9] Esto es más simple que la prueba de Euclides, pero Euclides no presenta la construcción de una bisectriz de ángulo hasta la proposición 9. Por lo tanto, el orden de presentación de las proposiciones de Euclides tendría que cambiarse para evitar la posibilidad de un razonamiento circular.

La prueba procede de la siguiente manera: ^[10]

Como antes, sea el triángulo ABC con AB  =  AC .

Construir la bisectriz del ángulo de y extenderlo a reúnen antes de Cristo en X .${\displaystyle \angle BAC}$

AB  =  AC y AX es igual a sí mismo.

Además, entonces, la aplicación de lado-ángulo-lado, triángulo BAX y triángulo CAX son congruentes.${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX}$

De ello se deduce que los ángulos en B y C son iguales.

Legendre usa una construcción similar en Éléments de géométrie , pero tomando X como el punto medio de BC . ^[11] La demostración es similar pero debe usarse lado-lado-lado en lugar de lado-ángulo-lado, y Euclid no da lado-lado-lado hasta más adelante en los Elementos .

En espacios de productos internos

El teorema del triángulo isósceles se mantiene en los espacios internos del producto sobre los números reales o complejos . En tales espacios, toma una forma que dice de los vectores x , y y z que si ^[12]

${\displaystyle x+y+z=0{\text{ and }}\|x\|=\|y\|,}$

entonces

${\displaystyle \|x-z\|=\|y-z\|.}$

Ya que

${\displaystyle \|x-z\|^{2}=\|x\|^{2}-2x\cdot z+\|z\|^{2},}$

y

${\displaystyle x\cdot z=\|x\|\|z\|\cos \theta }$

donde θ es el ángulo entre los dos vectores, la conclusión de esta forma de espacio de producto interno del teorema es equivalente al enunciado sobre la igualdad de ángulos.

Etimología y términos relacionados

Otro término medieval para el pons asinorum fue Elefuga que, según Roger Bacon , proviene del griego elegia "miseria", y del latín fuga "vuelo", que es "vuelo de los miserables". Aunque esta etimología es dudosa, se repite en el uso que hace Chaucer del término "flemyng of wreches" para el teorema. ^[13]

Hay dos posibles explicaciones para el nombre pons asinorum , la más simple es que el diagrama utilizado se asemeja a un puente real. Pero la explicación más popular es que es la primera prueba real en los Elementos de la inteligencia del lector y funciona como un "puente" hacia las proposiciones más difíciles que siguen. ^[14] Gauss supuestamente abrazó una vez una creencia similar en la necesidad de comprender inmediatamente la identidad de Euler como un punto de referencia para convertirse en un matemático de primera clase. ^[15]

De manera similar, el nombre Dulcarnon se le dio a la proposición 47 del Libro I de Euclides, más conocido como el teorema de Pitágoras , después del árabe Dhū 'l qarnain ذُو ٱلْقَرْنَيْن, que significa "el dueño de los dos cuernos", porque los diagramas del teorema mostraban dos cuadrados más pequeños como cuernos en la parte superior de la figura. El término también se utiliza como metáfora de un dilema. ^[13] El teorema también se llamó a veces "el molino de viento" por razones similares. ^[dieciséis]

Uso metafórico

Los usos de la protuberancia asinorum como metáfora incluyen:

• El Philobiblon de Richard Aungerville contiene el pasaje "Quot Euclidis discipulos retrojecit Elefuga quasi scopulos eminens et abruptus, qui nullo scalarum suffragio scandi posset! Durus, inquiunt, est his sermo; quis potest eum audire?", Que compara el teorema con un acantilado escarpado que ninguna escalera puede ayudar a escalar y pregunta cuántos aspirantes a geómetras han sido rechazados. ^[13]
• El término pons asinorum , tanto en su significado de puente como de prueba, se utiliza como metáfora para encontrar el término medio de un silogismo . ^[13]
• El poeta del siglo XVIII Thomas Campbell escribió un poema humorístico llamado "Pons asinorum" donde una clase de geometría ataca el teorema como una compañía de soldados podría atacar una fortaleza; la batalla no estuvo exenta de bajas. ^[17]
• El economista John Stuart Mill llamó a la Ley de Renta de Ricardo el pons asinorum de la economía. ^[18]
• Pons Asinorum es el nombre que se le da a una configuración particular ^[19] de un cubo de Rubik .
• Eric Raymond se refirió al tema del espacio en blanco sintácticamente significativo en el lenguaje de programación Python como su pons asinorum. ^[20]
• El aasinsilta finlandés y el åsnebrygga sueco es una técnica literaria en la que una conexión tenue, incluso artificial, entre dos argumentos o temas, que es casi, pero no del todo, una incongruencia , se utiliza como una transición incómoda entre ellos. ^[21] En un texto serio, se considera un error estilístico, ya que pertenece propiamente a la corriente de la conciencia - o causerie -estilo de escritura. Los ejemplos típicos son terminar una sección diciendo de qué trata la siguiente, sin molestarse en explicar por qué los temas están relacionados, expandir una mención casual en un tratamiento detallado o encontrar una conexión artificial entre los temas (p. Ej., "Compramos vino tinto ; hablando de líquidos rojos, mañana es el Día Mundial del Donante de Sangre ").
• En holandés , ezelsbruggetje ('pequeño puente de asnos') es la palabra mnemotécnica . Lo mismo ocurre con la alemana Eselsbrücke .
• En checo , oslí můstek tiene dos significados: puede describir una conexión artificial entre dos temas o una mnemotecnia.

Referencias

1. Smith, David Eugene (1925). Historia de las Matemáticas . II . Ginn y compañía. págs.  284 . Se formó en un puente a través del cual los tontos no podían esperar pasar y, por lo tanto, se lo conocía como pons asinorum , o puente de los tontos.
   1. El término es algo que se aplica al Teorema de Pitágoras.
2. Pons asinorum - Definición y más de Free Merriam
3. Heath págs. 251-255
4. Siguiendo a Proclus p. 53
5. Por ejemplo F. Cuthbertson Primer of geometry (1876 Oxford) p. 7
6. Charles Lutwidge Dodgson, Euclid y sus rivales modernos Acto I Escena II §6
7. Siguiendo a Proclus p. 54
8. Heath p. 254 para la sección
9. Por ejemplo , geometría elemental de JM Wilson(1878 Oxford) p. 20
10. Siguiendo a Wilson
11. AM Legendre Éléments de géométrie (1876 Libr. De Firmin-Didot et Cie) p. 14
12. JR Retherford, Hilbert Space , Cambridge University Press , 1993, página 27.
13. A. F. West y HD Thompson "Sobre Dulcarnon, Elefuga y Pons Asinorum como nombres fantásticos para proposiciones geométricas" El boletín de la Universidad de Princeton, vol. 3 No. 4 (1891) pág. 84
14. DE Smith Historia de las matemáticas (1958 Dover) p. 284
15. Derbyshire, John (2003). Primera obsesión: Bernhard Riemann y el mayor problema sin resolver en matemáticas . 500 Fifth Street, NW, Washington DC 20001: Joseph Henry Press. pag. 202 . ISBN 0-309-08549-7. matemático de primera.
16. Charles Lutwidge Dodgson, Euclid y sus rivales modernos Acto I Escena II §1
17. WE Aytoun (Ed.) Las obras poéticas de Thomas Campbell (1864, Little, Brown) p. 385 Google Libros
18. Principios de economía política de John Stuart Mill (1866: Longmans, Green, Reader y Dyer) Libro 2, Capítulo 16, p. 261
19. Reid, Michael (28 de octubre de 2006). "Patrones del cubo de Rubik" . www.cflmath.com . Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2012 . Consultado el 22 de septiembre de 2019 .
20. Eric S. Raymond, "¿Por qué Python?", Linux Journal, 30 de abril de 2000
21. Aasinsilta sobre laiskurin apuneuvo | Yle Uutiset | yle.fi

Enlaces externos

Busque pons asinorum en Wikcionario, el diccionario gratuito.

Wikisource tiene texto original relacionado con este artículo: Proposición 5 de los elementos de Euclides

• Pons asinorum en PlanetMath .
• Presentación de DE Joyce de los elementos de Euclides