Un porismo es una proposición o corolario matemático . Se ha utilizado para referirse a una consecuencia directa de una demostración, análoga a cómo un corolario se refiere a una consecuencia directa de un teorema . En el uso moderno, es una relación que se aplica a un rango infinito de valores, pero solo si se asume una determinada condición, como el porismo de Steiner . [1] El término se origina en tres libros de Euclides que se han perdido. Una proposición puede no haber sido probada, por lo que un porismo puede no ser un teorema o verdadero.
El libro que habla de porismas primera es Euclides 's Porismos . Lo que se sabe de ella está en Pappus de Alejandría 's Collection , que lo menciona junto con otros tratados geométricos, y da varios lemas necesarios para la comprensión de la misma. [2] Pappus afirma:
Pappus dijo que la última definición fue cambiada por ciertos geómetras posteriores, quienes definieron un porismo como una característica accidental como τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος ( to leîpon hypothései topikoû theōrḗmatos ), lo que no llega a un locus o teorema por un ) hipótesis. Proclus señaló que la palabra porismo se usó en dos sentidos: un sentido es el de "corolario", como resultado no buscado pero visto como resultado de un teorema. En el otro sentido, no agregó nada a la definición de "los geómetras más antiguos", excepto para decir que el hallazgo del centro de un círculo y el hallazgo de la mayor medida común son porismos. [3] [2]
Pappus rechazó la definición de porismo de Euclides . Un porismo, expresado en lenguaje moderno, afirma que dadas cuatro líneas rectas, de las cuales tres giran alrededor de los puntos en los que se encuentran, la cuarta si dos de los puntos de intersección de estas líneas se encuentran cada uno en una línea recta fija, el punto restante de La intersección también estará en otra línea recta. La definición general se aplica a cualquier número, n , de líneas rectas, de las cuales n pueden girar tantos puntos fijos en el ( n + 1) ésimo. Estas n líneas rectas cortan dos y dos en 1 ⁄ 2 n ( n - 1) puntos, 1 ⁄ 2 n (n - 1) siendo un número triangular cuyo lado es n - 1. Si se hacen girar alrededor de los n puntos fijos de modo que cualquier n - 1 de sus 1 ⁄ 2 n ( n - 1) puntos de intersección, elegido sujeto a una cierta limitación, se encuentran en n - 1 dadas líneas rectas fijas, luego cada uno de los puntos restantes de intersección, 1 ⁄ 2 n ( n - 1) ( n - 2) en número, describe una línea recta. [2]
Lo anterior se puede expresar como: Si alrededor de dos puntos fijos, P y Q, uno hace el giro, dos líneas rectas se encuentran en una línea recta dada, L, y si uno de ellos corta un segmento, AM, de una línea recta fija. , AX, dada en posición, se puede determinar otra línea recta fija BY y un punto B fijo en ella, de modo que el segmento BM 'formado por la segunda línea móvil en esta segunda línea fija medida desde B tenga una relación X dada a AM. Los lemas que da Pappus en relación con los porismos son:
Robert Simson explicó las únicas tres proposiciones que Pappus indica con alguna completitud, que fueron publicadas en Philosophical Transactions en 1723. Más tarde investigó el tema de los porismos en general en una obra titulada De porismatibus traclatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor , y publicado tras su muerte en un volumen, Roberti Simson opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776). [4]