En geometría , una cadena de Steiner es un conjunto de n círculos, todos los cuales son tangentes a dos círculos dados que no se cruzan (azul y rojo en la Figura 1), donde n es finito y cada círculo de la cadena es tangente al anterior y siguientes círculos en la cadena. En las cadenas Steiner cerradas habituales , el primer y último ( n- ésimo ) círculo también son tangentes entre sí; por el contrario, en las cadenas Steiner abiertas , no es necesario. Los círculos dados α y βno se cruzan, pero de lo contrario no están restringidos; el círculo más pequeño puede estar completamente dentro o fuera del círculo más grande. En estos casos, los centros de los círculos de cadena de Steiner se encuentran en una elipse o una hipérbola , respectivamente.
Las cadenas Steiner llevan el nombre de Jakob Steiner , quien las definió en el siglo XIX y descubrió muchas de sus propiedades. Un resultado fundamental es el porismo de Steiner , que afirma:
- Si existe al menos una cadena Steiner cerrada de n círculos para dos círculos dados α y β , entonces hay un número infinito de cadenas Steiner cerradas de n círculos; y cualquier círculo tangente a α y β de la misma manera es miembro de dicha cadena.
"Tangente de la misma manera" significa que el círculo arbitrario es interna o externamente tangente de la misma manera que un círculo de la cadena Steiner original. Un porísmo es un tipo de teorema que se relaciona con el número de soluciones y las condiciones de las mismas. Los porismos a menudo describen una figura geométrica que no puede existir a menos que se cumpla una condición, pero de lo contrario puede existir en un número infinito; otro ejemplo es el porismo de Poncelet .
El método de inversión de círculos es útil para tratar las cadenas de Steiner. Dado que conserva tangencias, ángulos y círculos, la inversión transforma una cadena de Steiner en otra del mismo número de círculos. Una elección particular de inversión transforma los círculos dados α y β en círculos concéntricos; en este caso, todos los círculos de la cadena Steiner tienen el mismo tamaño y pueden "rodar" en el espacio anular entre los círculos de forma similar a los rodamientos de bolas . Esta configuración estándar permite derivar varias propiedades de las cadenas de Steiner, por ejemplo, sus puntos de tangencia siempre se encuentran en un círculo. Existen varias generalizaciones de las cadenas de Steiner, sobre todo las cadenas de Hexlet y Pappus de Soddy . [1]
Definiciones y tipos de tangencia
Los 7 círculos de esta cadena Steiner (negro) son externamente tangentes al círculo interno dado (rojo) pero internamente tangentes al círculo externo dado (azul).
Los 7 círculos de esta cadena de Steiner (negro) son externamente tangentes a ambos círculos dados (rojo y azul), que se encuentran uno fuera del otro.
Siete de los 8 círculos de esta cadena Steiner (negro) son externamente tangentes a ambos círculos dados (rojo y azul); el octavo círculo es internamente tangente a ambos.
Los dos círculos dados α y β no pueden cruzarse; por tanto, el círculo dado más pequeño debe estar dentro o fuera del más grande. Los círculos generalmente se muestran como un anillo , es decir, con el círculo dado más pequeño dentro del más grande. En esta configuración, los círculos de cadena de Steiner son externamente tangentes al círculo interno dado e internamente tangentes al círculo externo. Sin embargo, el círculo más pequeño también puede quedar completamente fuera del más grande (Figura 2). Los círculos negros de la Figura 2 satisfacen las condiciones para una cadena de Steiner cerrada: todos son tangentes a los dos círculos dados y cada uno es tangente a sus vecinos en la cadena. En esta configuración, los círculos de cadena de Steiner tienen el mismo tipo de tangencia a ambos círculos dados, ya sea externa o internamente tangente a ambos. Si los dos círculos dados son tangentes en un punto, la cadena de Steiner se convierte en una cadena de Pappus infinita , que a menudo se discute en el contexto de los arbelos ( cuchillo de zapatero ), una figura geométrica hecha de tres círculos. No existe un nombre general para una secuencia de círculos tangentes a dos círculos dados que se cruzan en dos puntos.
Cerrado, abierto y multicíclico
Cadena Steiner cerrada de nueve círculos. Los círculos primero y noveno son tangentes.
Cadena Steiner abierta de nueve círculos. Los círculos 1 y 9 se superponen.
Cadena Steiner multicíclica de 17 círculos en 2 vueltas. Los círculos 1 y 17 se tocan.
Los dos círculos dados α y β tocan los n círculos de la cadena Steiner, pero cada círculo C k de una cadena Steiner toca solo cuatro círculos: α , β y sus dos vecinos, C k −1 y C k +1 . Por defecto, se supone que las cadenas de Steiner están cerradas , es decir, el primer y último círculo son tangentes entre sí. Por el contrario, una cadena Steiner abierta es aquella en la que el primer y el último círculo, C 1 y C n , no son tangentes entre sí; estos círculos son tangentes solo a tres círculos. Las cadenas de Steiner multicíclicas se envuelven alrededor del círculo interior más de una vez antes de cerrarse, es decir, antes de ser tangentes al círculo inicial.
Las cadenas de Steiner cerradas son los sistemas de círculos obtenidos como la representación del teorema de empaquetamiento de círculos de una bipirámide .
Caso anular y criterio de viabilidad
n = 3
n = 6
n = 9
n = 12
n = 20
El tipo más simple de cadena de Steiner es una cadena cerrada de n círculos de igual tamaño que rodean un círculo inscrito de radio r ; la cadena de círculos es en sí mismo rodeado por un círculo circunscrito de radio R . Los círculos dados inscritos y circunscritos son concéntricos, y los círculos de cadena de Steiner se encuentran en el anillo entre ellos. Por simetría, el ángulo 2 θ entre los centros de los círculos de la cadena de Steiner es 360 ° / n . Debido a que los círculos de la cadena de Steiner son tangentes entre sí, la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios, aquí el doble de su radio ρ . La bisectriz (verde en la Figura) crea dos triángulos rectángulos, con un ángulo central de θ = 180 ° / n . El seno de este ángulo se puede escribir como la longitud de su segmento opuesto, dividido por la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Dado que θ se conoce a partir de n , esto proporciona una ecuación para el radio desconocido ρ de los círculos de la cadena de Steiner
Los puntos tangentes de un círculo de cadena de Steiner con los círculos internos y externos dados se encuentran en una línea que pasa por su centro común; por tanto, el radio exterior R = r + 2 ρ .
Estas ecuaciones proporcionan un criterio para la viabilidad de una cadena de Steiner para dos círculos concéntricos dados. Una cadena de Steiner cerrada de n círculos requiere que la relación de los radios R / r de los círculos dados sea exactamente igual
Como se muestra a continuación, este criterio de relación de radios para círculos concéntricos dados se puede extender a todos los tipos de círculos dados por la distancia inversa δ de los dos círculos dados. Para círculos concéntricos, esta distancia se define como un logaritmo de su relación de radios
Usando la solución para círculos concéntricos, se puede escribir el criterio general para una cadena de Steiner de n círculos
Si una cadena de Steiner anular multicíclica tiene n círculos totales y se envuelve alrededor de m veces antes de cerrarse, el ángulo entre los círculos de la cadena de Steiner es igual a
En otros aspectos, el criterio de viabilidad no se modifica.
Propiedades en inversión
Dos círculos (rosa y cian) que son internamente tangentes a ambos círculos dados y cuyos centros son colineales con el centro de los círculos dados se cruzan en el ángulo 2 θ .
Bajo inversión, estas líneas y círculos se convierten en círculos con el mismo ángulo de intersección, 2 θ . Los círculos dorados cortan los dos círculos dados en ángulos rectos, es decir, ortogonalmente.
Los círculos que pasan por los puntos tangentes mutuos de los círculos de la cadena de Steiner son ortogonales a los dos círculos dados y se cruzan entre sí en múltiplos del ángulo 2 θ .
Los círculos que pasan por los puntos tangentes de los círculos de la cadena de Steiner con los dos círculos dados son ortogonales a este último y se cruzan en múltiplos del ángulo 2 θ .
La inversión de círculos transforma una cadena de Steiner en otra con el mismo número de círculos.
En la cadena transformada, los puntos tangentes entre círculos adyacentes de la cadena Steiner se encuentran todos en un círculo, es decir, el círculo concéntrico a medio camino entre los dos círculos concéntricos fijos. Dado que las tangencias y los círculos se conservan bajo inversión, esta propiedad de todas las tangencias que se encuentran en un círculo también es cierta en la cadena original. Esta propiedad también se comparte con la cadena de círculos Pappus , que puede interpretarse como un caso límite especial de la cadena Steiner.
En la cadena transformada, las líneas tangentes de O a los círculos de la cadena de Steiner están separadas por ángulos iguales. En la cadena original, esto corresponde a ángulos iguales entre los círculos tangentes que pasan por el centro de inversión utilizado para transformar los círculos originales en un par concéntrico.
En la cadena transformada, las n líneas que conectan los pares de puntos tangentes de los círculos de Steiner con los círculos concéntricos pasan por O , el centro común. Del mismo modo, las n líneas tangentes a cada par de círculos adyacentes en la cadena de Steiner también pasar a través de O . Desde líneas a través del centro de inversión son invariantes bajo inversión, y desde tangencia y concurrencia se conservan bajo inversión, los 2 n líneas que conectan los puntos correspondientes en la cadena original también pasan a través de un solo punto, O .
Familia infinita
Una cadena Steiner entre dos círculos que no se cruzan siempre se puede transformar en otra cadena Steiner de círculos del mismo tamaño intercalados entre dos círculos concéntricos. Por lo tanto, cualquier cadena de Steiner de este tipo pertenece a una familia infinita de cadenas de Steiner relacionadas por la rotación de la cadena transformada alrededor de O , el centro común de los círculos delimitadores transformados.
Locus de centros elíptico / hiperbólico
Los centros de los círculos de una cadena Steiner se encuentran en una sección cónica . Por ejemplo, si el círculo dado más pequeño se encuentra dentro del más grande, los centros se encuentran en una elipse . Esto es cierto para cualquier conjunto de círculos que sean internamente tangentes a un círculo dado y externamente tangentes al otro; tales sistemas de círculos aparecen en la cadena de Pappus , el problema de Apolonio y el hexlet tridimensional de Soddy . De manera similar, si algunos círculos de la cadena de Steiner son externamente tangentes a ambos círculos dados, sus centros deben estar en una hipérbola, mientras que aquellos que son internamente tangentes a ambos se encuentran en una hipérbola diferente.
Los círculos de la cadena de Steiner son tangentes a dos círculos fijos, aquí indicados como α y β , donde β está encerrado por α . Deje que los radios de estos dos círculos se denota como r α y r β , respectivamente, y dejar que sus respectivos centros de ser los puntos A y B . Deje que el radio, el diámetro y el punto central del k- ésimo círculo de la cadena de Steiner se denoten como r k , d k y P k , respectivamente.
Todos los centros de los círculos en la cadena Steiner están ubicados en una elipse común , por la siguiente razón. [2] La suma de las distancias desde el punto central del k- ésimo círculo de la cadena de Steiner hasta los dos centros A y B de los círculos fijos es igual a una constante
Así, para todos los centros de los círculos de la cadena de Steiner, la suma de las distancias a A y B es igual a la misma constante, r α + r β . Esto define una elipse, cuyos dos focos son los puntos A y B , los centros de los círculos, α y β , que intercalan la cadena de círculos de Steiner.
La suma de las distancias a los focos es igual al doble del semieje mayor a de una elipse; por eso,
Let p igual a la distancia entre los focos, A y B . Entonces, la excentricidad e se define por 2 ae = p , o
A partir de estos parámetros, se pueden determinar el eje semi-menor by el recto semilato L
Por lo tanto, la elipse se puede describir mediante una ecuación en términos de su distancia d a un foco
donde θ es el ángulo con la línea que une los dos focos.
Cadenas conjugadas
Cadena Steiner con los dos círculos dados que se muestran en rojo y azul.
Mismo conjunto de círculos, pero con una elección diferente de círculos dados.
El mismo conjunto de círculos, pero con otra opción de círculos dados.
Si una cadena Steiner tiene un número par de círculos, entonces cualesquiera dos círculos diametralmente opuestos en la cadena se pueden tomar como los dos círculos dados de una nueva cadena Steiner a la que pertenecen los círculos originales. Si la cadena Steiner original tiene n círculos en m vueltas y la nueva cadena tiene p círculos en q vueltas, entonces la ecuación se cumple
Un ejemplo simple ocurre para las cadenas de Steiner de cuatro círculos ( n = 4) y una vuelta ( m = 1). En este caso, los círculos dados y los círculos de la cadena de Steiner son equivalentes en que ambos tipos de círculos son tangentes a otros cuatro; más generalmente, los círculos de cadena de Steiner son tangentes a cuatro círculos, pero los dos círculos dados son tangentes an círculos. En este caso, cualquier par de miembros opuestos de la cadena Steiner puede seleccionarse como los círculos dados de otra cadena Steiner que involucre los círculos dados originales. Dado que m = p = 1 yn = q = 4, se satisface la ecuación de Steiner:
Generalizaciones
La generalización más simple de una cadena Steiner es permitir que los círculos dados se toquen o se crucen entre sí. En el primer caso, corresponde a una cadena de Pappus , que tiene un número infinito de círculos.
El hexlet de Soddy es una generalización tridimensional de una cadena de Steiner de seis círculos. Los centros de las seis esferas (el hexlet ) viajan a lo largo de la misma elipse que los centros de la correspondiente cadena de Steiner. La envoltura de las esferas de hexlet es un ciclón de Dupin , la inversión de un toro . Las seis esferas no solo son tangentes a la esfera interior y exterior, sino también a otras dos esferas, centradas por encima y por debajo del plano de los centros de hexlet.
Varios anillos de cadenas de Steiner son otra generalización. Una cadena de Steiner ordinaria se obtiene invirtiendo una cadena anular de círculos tangentes delimitada por dos círculos concéntricos. Esto puede generalizarse para invertir tres o más círculos concéntricos que intercalan cadenas anulares de círculos tangentes.
Las cadenas de Steiner jerárquicas son otra generalización más. Si los dos círculos dados de una cadena de Steiner ordinaria están anidados, es decir, si uno se encuentra completamente dentro del otro, entonces el círculo dado más grande circunscribe los círculos de la cadena de Steiner. En una cadena de Steiner jerárquica, cada círculo de una cadena de Steiner es en sí mismo el círculo circunscrito de otra cadena de Steiner dentro de ella; este proceso puede repetirse indefinidamente, formando un fractal .
Ver también
Referencias
Bibliografía
- Ogilvy, CS (1990). Excursiones en geometría . Dover. págs. 51–54 . ISBN 0-486-26530-7.
- Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). La geometría revisada . Nueva biblioteca matemática. 19 . Washington : MAA . págs. 123-126, 175-176, 180. ISBN 978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402 .
- Johnson RA (1960). Geometría euclidiana avanzada: tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Miflin ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 113-115. ISBN 978-0-486-46237-0.
- Wells D (1991). El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 244–245 . ISBN 0-14-011813-6.
Otras lecturas
- Eves H (1972). A Survey of Geometry (edición revisada). Boston: Allyn y Bacon. págs. 134-135. ISBN 978-0-205-03226-6.
- Pedoe D (1970). Un curso de geometría para colegios y universidades . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 97–101. ISBN 978-0-521-07638-8.
- Coolidge JL (1916). Tratado sobre el círculo y la esfera . Oxford: Clarendon Press. págs. 31–37.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Cadena Steiner" . MathWorld .
- Animación interactiva de una cadena Steiner , CodePen
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra una animación de la cadena de Steiner con un número variable de círculos realizados con GeoGebra .