Pappus de Alejandría ( / p æ p ə s / ; griego : Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; . C 290 . - c 350 dC) fue uno de los últimos grandes matemáticos griegos de la antigüedad, conocidos por su Sinagoga (Συναγωγή) o Colección ( c . 340 ), y para teorema hexágono de Pappus en la geometría proyectiva . No se sabe nada de su vida, aparte de lo que se puede encontrar en sus propios escritos: que tuvo un hijo llamado Hermodorus, y fue maestro enAlejandría . [1]
Collection , su obra más conocida, es un compendio de matemáticas en ocho volúmenes, la mayor parte de los cuales sobrevive. Cubre una amplia gama de temas, que incluyen geometría , matemáticas recreativas , duplicación del cubo , polígonos y poliedros .
Contexto
Pappus estuvo activo en el siglo IV d.C. En un período de estancamiento generalizado de los estudios matemáticos, destaca como una notable excepción. [2] "Cuán lejos estaba por encima de sus contemporáneos, cuán poco apreciado o comprendido por ellos, se demuestra por la ausencia de referencias a él en otros escritores griegos, y por el hecho de que su trabajo no tuvo ningún efecto en detener la decadencia matemática ciencia ", escribe Thomas Little Heath . "A este respecto, el destino de Pappus se asemeja notablemente al de Diofanto ". [2]
Tener una cita
En sus escritos supervivientes, Pappus no da ninguna indicación de la fecha de los autores cuyas obras utiliza, o del tiempo (pero ver más abajo) en el que él mismo escribió. Si no hubiera otra información disponible, todo lo que podría saberse sería que era posterior a Ptolomeo (muerto c. 168 d.C.), a quien cita, y anterior a Proclo (nacido c. 411 ), quien lo cita. [2]
La Suda del siglo X afirma que Pappus tenía la misma edad que Theon de Alejandría , quien estuvo activo durante el reinado del emperador Theodosius I (372–395). [3] Una nota al margen de un manuscrito de finales del siglo X [2] (una copia de una tabla cronológica del mismo Theon) da una fecha diferente , que dice, junto a una entrada sobre el emperador Diocleciano (reinó 284-305 ), que "en ese momento escribió Pappus". [ cita requerida ]
Sin embargo, una fecha real proviene de la datación de un eclipse solar mencionado por el propio Pappus, cuando en su comentario sobre el Almagest calcula "el lugar y el tiempo de la conjunción que dio lugar al eclipse en Tybi en 1068 después de Nabonassar ". Esto resulta como el 18 de octubre de 320, por lo que Pappus debe haber estado escribiendo alrededor de 320. [1]
Obras
La gran obra de Pappus, en ocho libros y titulada Sinagoga o Colección , no ha sobrevivido en forma completa: el primer libro se ha perdido y el resto ha sufrido considerablemente. La Suda enumera otras obras de Pappus: Χωρογραφία οἰκουμενική ( Chorographia oikoumenike o descripción del mundo habitado ), el comentario sobre los cuatro libros de Ptolomeo 's Almagesto , Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ ( Los Ríos en Libia ), y Ὀνειροκριτικά ( La interpretación de los sueños ). [3] mismo Pappus menciona otro comentario de su propia en el Ἀνάλημμα ( Analema ) de Diodoro de Alejandría . Pappus también escribió comentarios sobre los Elementos de Euclides (de los cuales se conservan fragmentos en Proclo y el Escolio , mientras que el del décimo Libro se ha encontrado en un manuscrito árabe) y sobre Ἁρμονικά ( Harmonika ) de Ptolomeo . [2]
Federico Commandino tradujo la Colección de Pappus al latín en 1588. El historiador matemático y clasicista alemán Friedrich Hultsch (1833-1908) publicó una presentación definitiva en tres volúmenes de la traducción de Commandino con las versiones griega y latina (Berlín, 1875-1878). Utilizando el trabajo de Hultsch, el historiador matemático belga Paul ver Eecke fue el primero en publicar una traducción de la Colección a un idioma europeo moderno; su traducción francesa en dos volúmenes se titula Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique (París y Brujas, 1933). [4]
Colección
Las características de la Colección de Pappus son que contiene un relato, ordenado sistemáticamente, de los resultados más importantes obtenidos por sus predecesores y, en segundo lugar, notas explicativas o ampliadoras de descubrimientos anteriores. Estos descubrimientos forman, de hecho, un texto sobre el que Pappus amplía discursivamente. Heath consideró valiosas las introducciones sistemáticas a los diversos libros, ya que exponen claramente un esquema de los contenidos y el alcance general de los temas a tratar. De estas introducciones se puede juzgar el estilo de la escritura de Pappus, que es excelente e incluso elegante en el momento en que se libera de las cadenas de fórmulas y expresiones matemáticas. Heath también encontró que su característica exactitud hizo de su Colección "un admirable sustituto de los textos de los muchos tratados valiosos de matemáticos anteriores de los que el tiempo nos ha privado". [2]
Las partes supervivientes de Collection se pueden resumir como sigue. [5]
Solo podemos conjeturar que el Libro I perdido , como el Libro II, se refería a la aritmética, siendo el Libro III claramente presentado como el comienzo de un nuevo tema. [2]
Todo el Libro II (la primera parte del cual se pierde, el fragmento existente comienza en la mitad de la proposición 14) [2] discute un método de multiplicación de un libro sin nombre de Apolonio de Perge . Las proposiciones finales tratan de multiplicar los valores numéricos de las letras griegas en dos líneas de poesía, produciendo dos números muy grandes aproximadamente iguales a2 × 10 54 y2 × 10 38 . [6]
El libro III contiene problemas geométricos, planos y sólidos. Puede dividirse en cinco secciones: [2]
- Sobre el famoso problema de encontrar dos medias proporcionales entre dos líneas dadas, que surgió de la duplicación del cubo, reducido por Hipócrates de Quíos a la primera. Pappus da varias soluciones a este problema, incluido un método para hacer sucesivas aproximaciones a la solución, cuyo significado aparentemente no pudo apreciar; añade su propia solución al problema más general de hallar geométricamente el lado de un cubo cuyo contenido está en cualquier proporción dada al de uno dado. [2]
- Sobre las medias aritméticas, geométricas y armónicas entre dos rectas, y el problema de representar las tres en una y la misma figura geométrica. Esto sirve como introducción a una teoría general de los medios, de la cual Pappus distingue diez tipos, y proporciona una tabla que representa ejemplos de cada uno en números enteros. [2]
- Sobre un problema curioso sugerido por Euclides I. 21. [2]
- Sobre la inscripción de cada uno de los cinco poliedros regulares en una esfera. [2] Aquí Pappus observó que un dodecaedro regular y un icosaedro regular se podían inscribir en la misma esfera de modo que sus vértices se encontraran en los mismos 4 círculos de latitud, con 3 de los 12 vértices del icosaedro en cada círculo y 5 de los 20 vértices del dodecaedro en cada círculo. Esta observación se ha generalizado a politopos duales de dimensiones superiores . [7]
- Una adición de un escritor posterior sobre otra solución del primer problema del libro. [2]
Del Libro IV del título y prefacio se han perdido, por lo que el programa tiene que ser recogido del libro en sí. Al principio está la conocida generalización de Euclides I.47 ( teorema del área de Pappus ), luego sigue varios teoremas sobre el círculo, lo que lleva al problema de la construcción de un círculo que circunscribirá tres círculos dados, tocándose dos y dos. Esta y varias otras proposiciones sobre el contacto, por ejemplo, casos de círculos que se tocan entre sí e inscritos en la figura formada por tres semicírculos y conocida como arbelos ("cuchillo de zapatero") forman la primera división del libro; Pappus pasa entonces a considerar ciertas propiedades de la espiral de Arquímedes , la concoide de Nicomedes (ya mencionada en el Libro I como fuente de un método para doblar el cubo), y la curva descubierta muy probablemente por Hipias de Elis alrededor del 420 a. C., y conocida por el nombre, τετραγωνισμός, o quadratrix . La Proposición 30 describe la construcción de una curva de doble curvatura llamada por Pappus la hélice en una esfera; se describe por un punto que se mueve uniformemente a lo largo del arco de un gran círculo, que a su vez gira uniformemente alrededor de su diámetro, describiendo el punto un cuadrante y el gran círculo una revolución completa al mismo tiempo. Se encuentra el área de la superficie incluida entre esta curva y su base, la primera instancia conocida de una cuadratura de una superficie curva. El resto del libro trata de la trisección de un ángulo y la solución de problemas más generales del mismo tipo mediante la cuadrícula y la espiral. En una solución del primer problema está el primer uso registrado de la propiedad de una cónica (una hipérbola) con referencia al foco y la directriz. [8]
En el Libro V , después de un interesante prefacio sobre polígonos regulares, y que contiene comentarios sobre la forma hexagonal de las celdas de los panales , Pappus se dirige a la comparación de las áreas de diferentes figuras planas que tienen el mismo perímetro (siguiendo el tratado de Zenodorus sobre este tema), y de los volúmenes de diferentes figuras sólidas que tienen todas la misma superficie y, por último, una comparación de los cinco sólidos regulares de Platón . Por cierto, Pappus describe los otros trece poliedros delimitados por polígonos equiláteros y equiangulares pero no similares, descubiertos por Arquímedes , y encuentra, por un método que recuerda al de Arquímedes, la superficie y el volumen de una esfera. [8]
Según el prefacio, el Libro VI está destinado a resolver las dificultades que surgen en las llamadas "Obras Astronómicas Menores" (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), es decir, obras distintas del Almagesto . En consecuencia, comenta sobre la Sphaerica de Theodosius , la esfera móvil de Autolycus , el libro de Theodosius sobre el día y la noche , el tratado de Aristarchus sobre el tamaño y las distancias del sol y la luna , y la óptica y los fenómenos de Euclides . [8]
Libro VII
Desde que Michel Chasles citó este libro de Pappus en su historia de los métodos geométricos, [9] se ha convertido en objeto de considerable atención.
El prefacio del libro VII explica los términos análisis y síntesis, y la distinción entre teorema y problema. Pappus luego enumera las obras de Euclides , Apolonio , Aristeo y Eratóstenes , treinta y tres libros en total, cuya sustancia pretende dar, con los lemas necesarios para su elucidación. Con la mención de los porismos de Euclides tenemos una explicación de la relación del porismo con el teorema y el problema. En el mismo prefacio se incluye (a) el famoso problema conocido por el nombre de Pappus, a menudo enunciado así: Habiendo dado un número de líneas rectas, encontrar el lugar geométrico de un punto tal que las longitudes de las perpendiculares sobre, o (más generalmente ) las líneas trazadas de él oblicuamente con inclinaciones dadas a, las líneas dadas satisfacen la condición de que el producto de algunas de ellas puede tener una relación constante con el producto de las restantes; (Pappus no lo expresa de esta forma sino mediante la composición de razones, diciendo que si se da la razón que se compone de las razones de pares uno de un conjunto y uno de otro de las líneas así trazadas, y de la razón del impar, si lo hay, a una línea recta dada, el punto estará en una curva dada en la posición); (b) los teoremas que fueron redescubiertos y nombrados en honor a Paul Guldin , pero que parecen haber sido descubiertos por el propio Pappus. [8]
El libro VII también contiene
- bajo el título de la De Sectione Determinata de Apolonio, lemas que, examinados de cerca, se consideran casos de involución de seis puntos; [8]
- lemas importantes sobre los porismos de Euclides, [8] incluido el llamado teorema del hexágono de Pappus ; [10]
- un lema sobre los loci de superficie de Euclides que establece que el lugar geométrico de un punto tal que su distancia desde un punto dado tiene una relación constante con su distancia desde una línea recta dada es una cónica , y va seguido de pruebas de que la cónica es una parábola , elipse o hipérbola según la razón constante sea igual, menor o mayor que 1 (las primeras pruebas registradas de las propiedades, que no aparecen en Apolonio). [8]
La cita de Chasles de Pappus fue repetida por Wilhelm Blaschke [11] y Dirk Struik . [12] En Cambridge, Inglaterra, John J. Milne dio a los lectores el beneficio de su lectura de Pappus. [13] En 1985, Alexander Jones escribió su tesis en la Universidad de Brown sobre el tema. Springer-Verlag publicó una forma revisada de su traducción y comentario al año siguiente. Jones logra mostrar cómo Pappus manipuló el cuadrilátero completo , usó la relación de conjugados armónicos proyectivos y mostró una conciencia de las relaciones cruzadas de puntos y líneas. Además, el concepto de polo y polar se revela como un lema en el Libro VII. [14]
Libro VIII
Por último, el Libro VIII trata principalmente de la mecánica, las propiedades del centro de gravedad y algunos poderes mecánicos. Intercaladas se encuentran algunas proposiciones sobre geometría pura. La Proposición 14 muestra cómo dibujar una elipse a través de cinco puntos dados, y la Prop. 15 da una construcción simple para los ejes de una elipse cuando se dan un par de diámetros conjugados . [8]
Legado
La colección de Pappus era prácticamente desconocida para los árabes y los europeos medievales, pero ejerció una gran influencia en las matemáticas del siglo XVII después de ser traducida al latín por Federico Commandino . [15] de Diofanto Aritmética y de Pappus Colección eran las dos principales fuentes de Viète 's Isagoge en analyticam Artem (1591). [16] El problema de Pappus y su generalización llevaron a Descartes al desarrollo de la geometría analítica . [17] Fermat también desarrolló su versión de la geometría analítica y su método de Máximos y Mínimos a partir de los resúmenes de Pappus de las obras perdidas de Apolonio Plane Loci y On Determinate Section . [18] Otros matemáticos influenciados por Pappus fueron Pacioli , da Vinci , Kepler , van Roomen , Pascal , Newton , Bernoulli , Euler , Gauss , Gergonne , Steiner y Poncelet . [19]
Ver también
- Teorema del hexágono de Pappus
- Teorema del centroide de Pappus
- Cadena de pappus
- Configuración de Pappus
- Gráfico de Pappus
Notas
- ^ a b Pierre Dedron, J. Itard (1959) Matemáticas y matemáticos , vol. 1, pág. 149 (trad. Judith V. Field ) (Transworld Student Library, 1974)
- ^ a b c d e f g h i j k l m n Heath 1911 , pág. 740.
- ^ a b Whitehead, David (ed.). "Suda On Line - Pappos" . Suda On Line y el Consorcio Stoa . Consultado el 11 de julio de 2012 .
Alejandrino, filósofo, nacido en la época del anciano emperador Teodosio, cuando también floreció el filósofo Teón, el que escribió sobre el canon de Ptolomeo. Sus libros son Descripción del mundo habitado ; un comentario sobre los cuatro libros de la Gran Sintaxis de Ptolomeo; Los ríos en Libia ; y La interpretación de los sueños .
- ^ Smith, David Eugene (enero de 1934). "Revisión de Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique por Paul ver Eecke" (PDF) . Toro. Soy. Matemáticas. Soc . 40 (1): 11-12. doi : 10.1090 / S0002-9904-1934-05766-5 .
- ^ Weaver, James Henry (1916). "Pappus. Ponencia introductoria" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 23 (3): 127-135. doi : 10.1090 / S0002-9904-1916-02895-3 .
- ↑ Pappus of Alexandria, trad. al latín de Friedrich Hultsch. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt . Apud Weidmannos, 1877, págs. 19-29.
- ^ HSM Coxeter (23 de mayo de 2012). Politopos regulares . Corporación de mensajería. pag. 88 238. ISBN 978-0-486-14158-9.
- ↑ a b c d e f g h Heath , 1911 , pág. 741.
- ↑ Michel Chasles (1837) Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie , especialmente página 302; véanse también las páginas 12, 78 y 518.
- ^ Heath 1911b , p. 102.
- ↑ Wilhelm Blaschke (1948) Projektiva Geometrie , página 140
- ^ Dirk Struik (1953) Conferencias en geometría analítica y proyectiva , página 19, Addison-Wesley
- ^ Milne, 1911 .
- ^ Jones, 1986 . error sfn: varios objetivos (2 ×): CITEREFJones1986 ( ayuda )
- ^ Marchisotto, E. (2002). El teorema de Pappus: un puente entre álgebra y geometría. The American Mathematical Monthly, 109 (6), 497-516. doi: 10.2307 / 2695440
- ^ Eric G Forbes, Descartes y el nacimiento de la geometría analítica, Historia Mathematica, Volumen 4, Número 2, 1977, Páginas 141-151, https://doi.org/10.1016/0315-0860(77)90105-7 .
- ^ https://www.scientificamerican.com/article/the-invention-of-analytic-geometry/
- ^ Mahoney, Michael S. "Matemáticas de Fermat: pruebas y conjeturas". Science, vol. 178, no. 4056, 1972, págs. 30–36. JSTOR, www.jstor.org/stable/1734005.
- ^ Actas de la conferencia AIP 1479, 9 (2012); https://doi.org/10.1063/1.4756049
Referencias
- Heath, Thomas Little (1911). Mantenimiento CS1: fecha y año ( enlace ) . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . 22 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 102-103.
- Jones, Alexander (1986). "parte 1: introducción, texto, traducción". Libro 7 de la Colección . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96257-3.
- Jones, Alexander (1986). "parte 2: comentario, índice, cifras". Libro 7 de la Colección . Springer-Verlag. ISBN 3-540-96257-3.
- Milne, John J. (1911). Un tratado elemental sobre geometría de relación cruzada con notas históricas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 11 .
Atribución:
- Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público : Heath, Thomas Little (1911). " Pappus de Alejandría ". En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . 20 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 470–471.
Otras lecturas
- Jones, Alexander Raymond (19 de enero de 2017). "Pappus de Alejandría" . Encyclopædia Britannica .
- "Pappus de Alejandría (vivió c. 200-350 dC)". Diccionario Hutchinson de biografía científica . Helicon Publishing. 2004.
Matemático, astrónomo y geógrafo griego cuya principal importancia radica en sus comentarios sobre el trabajo matemático de sus predecesores.
- Eecke, Paul Ver (1933). Pappus d'Alexandrie: La Collection Mathématique avec une Introduction et des Notes (2 volúmenes Fondation Universitaire de Belgique ed.). París: Albert Blanchard.
enlaces externos
- Pappos (Bibliotheca Augustana)
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Pappus of Alexandria" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- "Pappus" , Columbia Electronic Encyclopedia , sexta edición en Answer.com.
- Teorema de Pappus en MathPages
- El trabajo de Pappus sobre el problema isoperimétrico en la convergencia