En matemáticas, y específicamente en la teoría de operadores , una función definida positiva en un grupo relaciona las nociones de positividad, en el contexto de los espacios de Hilbert , y los grupos algebraicos . Puede verse como un tipo particular de núcleo definido positivo donde el conjunto subyacente tiene la estructura de grupo adicional.
Definición
Deje que G sea un grupo, H sea un espacio complejo Hilbert, y L ( H ) sea los operadores limitado en H . Una función definida positiva en G es una función F : G → L ( H ) que satisface
para cada función h : G → H con soporte finito ( h toma valores distintos de cero para solo un número finito de s ).
En otras palabras, se dice que una función F : G → L ( H ) es una función definida positiva si el núcleo K : G × G → L ( H ) definido por K ( s , t ) = F ( s −1 t ) es un núcleo definido positivo.
Representaciones unitarias
Una representación unitaria es un homomorfismo unital Φ: G → L ( H ) donde Φ ( s ) es un operador unitario para todos los s . Para tal Φ, Φ ( s −1 ) = Φ ( s ) *.
Funciones definida positiva en G están íntimamente relacionados con representaciones unitarias de G . Toda representación unitaria de G da lugar a una familia de funciones definidas positivas. Por el contrario, dada una función definida positiva, se puede definir una representación unitaria de G de forma natural.
Deje Φ: G → L ( H ) sea una representación unitaria de G . Si P ∈ L ( H ) es la proyección sobre un subespacio cerrado H` de H . Entonces F ( s ) = P Φ ( s ) es una función definida positiva en G con valores en L ( H` ). Esto se puede mostrar fácilmente:
para cada h : G → H` con soporte finito. Si G tiene una topología y Φ es débilmente (resp. Fuertemente) continua, entonces claramente lo es F .
Por otra parte, considera ahora una función definida positiva F en G . Se puede obtener una representación unitaria de G como sigue. Sea C 00 ( G , H ) la familia de funciones h : G → H con soporte finito. El correspondiente kernel positivo K ( s , t ) = F ( s −1 t ) define un producto interno (posiblemente degenerado) en C 00 ( G , H ). Sea V el espacio de Hilbert resultante .
Se nota que los "elementos de matriz" K ( s , t ) = K ( a -1 s , un -1 t ) para todo un , s , t en G . Entonces U a h ( s ) = h ( a −1 s ) conserva el producto interno en V , es decir, es unitario en L ( V ). Está claro que el mapa Φ ( un ) = U una es una representación de G en V .
La representación unitaria es única, hasta el isomorfismo espacial de Hilbert, siempre que se cumpla la siguiente condición de minimidad:
dónde denota el cierre del tramo lineal.
Identifique H como elementos (posiblemente clases de equivalencia) en V , cuyo soporte consiste en el elemento identidad e ∈ G , y sea P la proyección en este subespacio. Entonces tenemos PU un P = F ( una ) para todo un ∈ G .
Granos de Toeplitz
Let G ser el grupo aditivo de los enteros Z . El núcleo K ( n , m ) = F ( m - n ) se denomina núcleo de tipo Toeplitz , por analogía con las matrices de Toeplitz . Si F tiene la forma F ( n ) = T n donde T es un operador acotado que actúa sobre algún espacio de Hilbert. Se puede demostrar que el núcleo K ( n , m ) es positivo si y solo si T es una contracción . Por la discusión de la sección anterior, tenemos una representación unitaria de Z , Φ ( n ) = U n para un operador unitario U . Además, la propiedad PU a P = F ( a ) ahora se traduce en PU n P = T n . Este es precisamente el teorema de la dilatación de Sz.-Nagy y sugiere una importante caracterización teórica de la dilatación de la positividad que conduce a una parametrización de núcleos arbitrarios definidos positivos.
Referencias
- Christian Berg, Christensen, Paul Ressel , Análisis armónico en semigrupos , GTM, Springer Verlag.
- T. Constantinescu, Parámetros de Schur, Problemas de dilatación y factorización , Birkhauser Verlag, 1996.
- B. Sz.-Nagy y C. Foias, Análisis armónico de operadores en el espacio de Hilbert, Holanda Septentrional, 1970.
- Z. Sasvári, Funciones positivas definidas y definibles, Akademie Verlag, 1994
- JH Wells, LR Williams, Incrustaciones y extensiones en análisis , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, Nueva York-Heidelberg, 1975. vii + 108 pp.