Homotecia
En matemáticas , una homotecia (u homotecia , o dilatación homogénea ) es una transformación de un espacio afín determinado por un punto S llamado su centro y un número distinto de cero λ llamado su razón , que envía
en otras palabras, fija S y envía cada M a otro punto N tal que el segmento SN está en la misma línea que SM , pero escalado por un factor λ . [1] En la geometría euclidiana, las homotecias son las similitudes que fijan un punto y conservan (si λ > 0 ) o invierten (si λ < 0 ) la dirección de todos los vectores. Junto con las traslaciones , todas las homotecias de un espacio afín (o euclidiano) forman un grupo , el grupo de las dilataciones u homotetia-traslaciones. Estas son precisamente las transformaciones afines con la propiedad de que la imagen de toda recta L es una recta paralela a L.
En geometría proyectiva , una transformación homotética es una transformación de similitud (es decir, fija una involución elíptica dada) que deja la línea en el punto infinito invariante . [2]
En geometría euclidiana, una homotecia de razón λ multiplica las distancias entre puntos por | λ | y todas las áreas por λ 2 . aquí | λ | es la relación de aumento o factor de dilatación o factor de escala o relación de similitud . Tal transformación puede llamarse ampliación si el factor de escala excede 1. El punto fijo S mencionado anteriormente se llama centro homotético o centro de similitud o centro de similitud .
El término, acuñado por el matemático francés Michel Chasles , se deriva de dos elementos griegos: el prefijo homo- ( όμο ), que significa "similar", y tesis ( Θέσις ), que significa "posición". Describe la relación entre dos figuras de la misma forma y orientación. Por ejemplo, dos muñecas rusas que miran en la misma dirección pueden considerarse homotéticas.
Si el centro homotético S coincide con el origen O del espacio vectorial ( S ≡ O ), entonces toda homotecia de razón λ equivale a un escalado uniforme por el mismo factor, lo que envía
