En matemáticas, un polinomio positivo en un conjunto particular es un polinomio cuyos valores son positivos en ese conjunto.
Sea p un polinomio en n variables con coeficientes reales y sea S un subconjunto del espacio euclidiano n- dimensional ℝ n . Nosotros decimos eso:
- p es positiva en S si p ( x )> 0 para cada x ∈ S .
- p es no negativo en S si p ( x ) ≥ 0 para cada x ∈ S .
- p es cero en S si p ( x ) = 0 para cada x ∈ S .
Para ciertos conjuntos de s , existen descripciones algebraicas de todos los polinomios que son, no negativo positivo, o cero en S . Tal descripción es positivstellensatz , nichtnegativstellensatz o nullstellensatz . Este artículo se centrará en las dos descripciones anteriores. Para este último, ver Nullstellensatz de Hilbert para el nullstellensatz más conocido.
Ejemplos de positivstellensatz (y nichtnegativstellensatz)
- Polinomios globalmente positivos y descomposición por suma de cuadrados .
- Todo polinomio real en una variable y con grado par no es negativo en ℝ si y solo si es una suma de dos cuadrados de polinomios reales en una variable. [1] Esta equivalencia no se generaliza para polinomios con más de una variable: por ejemplo, el polinomio de Motzkin X 4 Y 2 + X 2 Y 4 - 3 X 2 Y 2 + 1 no es negativo en ℝ 2 pero no es un suma de cuadrados de elementos de ℝ [ X , Y ]. [2]
- Un polinomio real en n variables no es negativo en ℝ n si y solo si es una suma de cuadrados de funciones racionales reales en n variables (ver el decimoséptimo problema de Hilbert y la solución de Artin [3] )
- Suponga que p ∈ ℝ [ X 1 , ..., X n ] es homogéneo de grado par. Si es positivo en ℝ n \ {0}, entonces existe un entero m tal que ( X 1 2 + ... + X n 2 ) m p es una suma de cuadrados de elementos de ℝ [ X 1 , .. ., X n ]. [4]
- Polinomios positivos sobre politopos .
- Para polinomios de grado ≤ 1 tenemos la siguiente variante del lema de Farkas : Si f , g 1 , ..., g k tienen grado ≤ 1 y f ( x ) ≥ 0 para cada x ∈ ℝ n que satisfaga g 1 ( x ) ≥ 0, ..., g k ( x ) ≥ 0, entonces existen números reales no negativos c 0 , c 1 , ..., c k tales que f = c 0 + c 1 g 1 + ... + c k g k .
- Teorema de Pólya: [5] Si p ∈ ℝ [ X 1 , ..., X n ] es homogéneo yp es positivo en el conjunto { x ∈ ℝ n | x 1 ≥ 0, ..., x n ≥ 0, x 1 + ... + x n ≠ 0}, entonces existe un entero m tal que ( x 1 + ... + x n ) m p no tiene -Coeficientes negativos.
- Teorema de Handelman: [6] Si K es un politopo compacto en el espacio d euclidiano , definido por desigualdades lineales g i ≥ 0, y si f es un polinomio en d variables que es positivo en K , entonces f se puede expresar como una combinación con coeficientes no negativos de productos de miembros de { g i }.
- Polinomios positivos en conjuntos semialgebraicos .
- El resultado más general es Positivstellensatz de Stengle .
- Para conjuntos semialgebraicos compactos tenemos positivstellensatz de Schmüdgen , [7] [8] positivstellensatz de Putinar [9] [10] y positivstellensatz de Vasilescu. [11] El punto aquí es que no se necesitan denominadores.
- Para bonitos conjuntos semialgebraicos compactos de baja dimensión, existe un nichtnegativstellensatz sin denominadores. [12] [13] [14]
Generalizaciones de positivstellensatz
Positivstellensatz también existe para polinomios trigonométricos, polinomios matriciales, polinomios en variables libres, varios polinomios cuánticos, etc. [ cita requerida ]
Referencias
- Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. Geometría algebraica real . Traducido del original francés de 1987. Revisado por los autores. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (3)], 36. Springer-Verlag, Berlín, 1998. x + 430 págs. ISBN 3-540-64663-9 .
- Marshall, Murray. "Polinomios positivos y sumas de cuadrados". Estudios y monografías de matemáticas , 146. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI, 2008. xii + 187 págs. ISBN 978-0-8218-4402-1 , ISBN 0-8218-4402-4 .
Notas
- ^ Benoist, Olivier (2017). "Escribir polinomios positivos como sumas de (pocos) cuadrados" . Boletín EMS . 2017–9 (105): 8–13. doi : 10.4171 / NOTICIAS / 105/4 . ISSN 1027-488X .
- ^ TS Motzkin, La desigualdad aritmético-geométrica. Desigualdades de 1967 (Simposios de Proc. Base de la Fuerza Aérea Wright-Patterson, Ohio, 1965) págs. 205–224.
- ^ E. Artin , Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo, 5 (1927), 85–99.
- ^ B. Reznick, denominadores uniformes en el decimoséptimo problema de Hilbert. Matemáticas. 220 (1995), núm. 1, 75–97.
- ^ G. Pólya, Über positivo Darstellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zürich 73 (1928) 141-145, en: R. P. Boas (Ed.), Collected Papers Vol. 2, MIT Press, Cambridge, MA, 1974, págs. 309-313.
- ^ D. Handelman, Representación de polinomios mediante funciones lineales positivas en poliedros convexos compactos. Pacific J. Math. 132 (1988), núm. 1, 35–62.
- ^ K. Schmüdgen. "Elproblema del momento K para conjuntos semi-algebraicos compactos". Matemáticas. Ana. 289 (1991), núm. 2, 203-206.
- ^ T. Wörmann. "Strikt Positive Polynome in der Semialgebraischen Geometrie", Univ. Dortmund 1998.
- ^ M. Putinar, "Polinomios positivos en conjuntos semi-algebraicos compactos". Indiana Univ. Matemáticas. J. 42 (1993), núm. 3, 969–984.
- ^ T. Jacobi, "Un teorema de representación para ciertos anillos conmutativos parcialmente ordenados". Matemáticas. Z. 237 (2001), no. 2, 259-273.
- ^ Vasilescu, F.-H. "Medidas espectrales y problemas de momento". Análisis espectral y sus aplicaciones, 173–215, Theta Ser. Adv. Matemáticas. , 2, Theta, Bucarest, 2003. Véase el teorema 1.3.1.
- ^ C. Scheiderer, "Sumas de cuadrados de funciones regulares en variedades algebraicas reales". Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 352 (2000), núm. 3, 1039–1069.
- ^ C. Scheiderer, "Sumas de cuadrados en curvas algebraicas reales". Matemáticas. Z. 245 (2003), núm. 4, 725–760.
- ^ C. Scheiderer, "Sumas de cuadrados en superficies algebraicas reales". Manuscripta Math. 119 (2006), núm. 4, 395–410.
Ver también
- Polinomio SOS
- El decimoséptimo problema de Hilbert