En lógica matemática , teoría de conjuntos positivos es el nombre de una clase de teorías de conjuntos alternativas en las que el axioma de comprensión
- " existe "
se mantiene al menos para las fórmulas positivas (la clase más pequeña de fórmulas que contienen fórmulas de pertenencia atómica e igualdad y cerradas bajo conjunción, disyunción, cuantificación existencial y universal).
Normalmente, la motivación de estas teorías es topológica: los conjuntos son las clases que están cerradas bajo una determinada topología . Las condiciones de cierre para las diversas construcciones permitidas en la construcción de fórmulas positivas están fácilmente motivadas (y se puede justificar aún más el uso de cuantificadores universales acotados en conjuntos para obtener una comprensión positiva generalizada ): la justificación del cuantificador existencial parece requerir que la topología sea compacta .
La teoría de conjuntos de Olivier Esser consta de los siguientes axiomas:
- El axioma de extensionalidad :.
- El axioma del conjunto vacío : existe un conjunto tal que (este axioma se puede prescindir ordenadamente si una fórmula falsa se incluye como fórmula positiva).
- El axioma de la comprensión positiva generalizada : si es una fórmula en la lógica de predicados que usa solo , , , , , y , luego el conjunto de todos tal que también es un conjunto. Cuantificación (, ) puede estar acotado.
- Tenga en cuenta que la negación no está específicamente permitida.
- El axioma del cierre : para cada fórmula, existe un conjunto que es la intersección de todos los conjuntos que contienen cada x tal que; esto se llama el cierre dey está escrito en cualquiera de las diversas formas en que se pueden presentar los cierres topológicos. Esto se puede poner más brevemente si se permite el lenguaje de la clase (cualquier condición en los conjuntos que definen una clase como en NBG ): para cualquier clase C hay un conjunto que es la intersección de todos los conjuntos que contienen C como una subclase. Obviamente, este es un principio razonable si los conjuntos se entienden como clases cerradas en una topología.
- El axioma del infinito : el ordinal de von Neumann existe. Éste no es un axioma de infinito en el sentido habitual; si Infinity no se sostiene, el cierre deexiste y se tiene a sí mismo como su único miembro adicional (ciertamente es infinito); el punto de este axioma es queno contiene elementos adicionales en absoluto, lo que impulsa la teoría de la fuerza de la aritmética de segundo orden a la fuerza de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley con la clase ordinal adecuada un cardinal débilmente compacto .
Propiedades interesantes
- El conjunto universal es un conjunto adecuado en esta teoría.
- Los conjuntos de esta teoría son las colecciones de conjuntos que se cierran bajo una determinada topología en las clases.
- La teoría puede interpretar ZFC (limitándose a la clase de conjuntos bien fundamentados, que no es en sí un conjunto). De hecho, interpreta una teoría más sólida (teoría de conjuntos de Morse-Kelley con el ordinal de clase adecuado y un cardinal débilmente compacto ).
Investigadores
- Isaac Malitz introdujo originalmente la teoría de conjuntos positivos en su tesis doctoral de 1976 en UCLA
- Alonzo Church fue el presidente del comité que supervisó la tesis antes mencionada.
- Olivier Esser parece ser el más activo en este campo.
Ver también
Referencias
- Esser, Olivier (1999), "Sobre la consistencia de una teoría positiva", MLQ Math. Tronco. Q. , 45 (1): 105-116, doi : 10.1002 / malq.19990450110 , MR 1669902