En matemáticas , un cardenal débilmente compacto es un cierto tipo de número cardinal introducido por Erdős y Tarski (1961) ; Los cardenales débilmente compactos son grandes cardenales , lo que significa que su existencia no puede probarse a partir de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos . (Tarski originalmente los llamó cardenales "no fuertemente incompatibles").
Formalmente, un cardinal κ se define como débilmente compacto si es incontable y para cada función f : [κ] 2 → {0, 1} hay un conjunto de cardinalidad κ que es homogéneo para f . En este contexto, [κ] 2 significa el conjunto de subconjuntos de 2 elementos de κ, y un subconjunto S de κ es homogéneo para f si y solo si todo [ S ] 2 se asigna a 0 o todo se asigna a 1 .
El nombre "débilmente compacto" se refiere al hecho de que si un cardinal es débilmente compacto, entonces cierto lenguaje infinitario relacionado satisface una versión del teorema de la compacidad ; vea abajo.
Todo cardenal débilmente compacto es un cardenal reflectante , y también es un límite de cardenales reflectantes. Esto también significa que los cardenales débilmente compactos son cardenales Mahlo , y el conjunto de cardenales Mahlo menor que un cardenal débilmente compacto dado es estacionario .
Formulaciones equivalentes
Los siguientes son equivalentes para cualquier cardinal incontable κ:
- κ es débilmente compacto.
- para cada λ <κ, número natural n ≥ 2 y función f: [κ] n → λ, existe un conjunto de cardinalidad κ que es homogéneo para f. ( Drake 1974 , capítulo 7 teorema 3.5)
- κ es inaccesible y tiene la propiedad de árbol , es decir, cada árbol de altura κ tiene un nivel de tamaño κ o una rama de tamaño κ.
- Cada orden lineal de cardinalidad κ tiene una secuencia ascendente o descendente de tipo de orden κ.
- κ es - indescriptible .
- κ tiene la propiedad de extensión. En otras palabras, para todo U ⊂ V κ existe un conjunto transitivo X con κ ∈ X , y un subconjunto S ⊂ X , tal que ( V κ , ∈, U ) es una subestructura elemental de ( X , ∈, S ) . Aquí, U y S se consideran predicados unarios .
- Para cada conjunto S de cardinalidad κ de subconjuntos de κ, hay un filtro completo κ no trivial que decide S.
- κ es κ- desplegable .
- κ es inaccesible y el lenguaje infinitario L κ, κ satisface el teorema de compacidad débil.
- κ es inaccesible y el lenguaje infinitario L κ, ω satisface el teorema de compacidad débil.
- κ es inaccesible y para cada conjunto transitivo de cardinalidad κ con κ , , y satisfaciendo un fragmento suficientemente grande de ZFC , hay una incrustación elemental de a un conjunto transitivo de cardinalidad κ tal que , con punto crítico κ. ( Hauser 1991 , Teorema 1.3)
Se dice que un lenguaje L κ, κ satisface el teorema de compacidad débil si siempre que Σ es un conjunto de oraciones de cardinalidad como máximo κ y cada subconjunto con menos de κ elementos tiene un modelo, entonces Σ tiene un modelo. Los cardenales fuertemente compactos se definen de manera similar sin la restricción sobre la cardinalidad del conjunto de oraciones.
Ver también
Referencias
- Drake, FR (1974), Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardenales , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, 76 , Elsevier Science Ltd, ISBN 0-444-10535-2
- Erdős, Paul ; Tarski, Alfred (1961), "Sobre algunos problemas que involucran a cardenales inaccesibles", Ensayos sobre los fundamentos de las matemáticas , Jerusalén: Magnes Press, Hebrew Univ., Págs. 50–82, MR 0167422
- Hauser, Kai (1991), "Cardenales indescriptibles e incrustaciones elementales", Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 56 : 439–457, doi : 10.2307 / 2274692
- Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: Grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2a ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3