En la teoría de conjuntos , un conjunto universal es un conjunto que contiene todos los objetos, incluido él mismo. [1] En la teoría de conjuntos, tal como se formula habitualmente, la concepción de un conjunto universal conduce a la paradoja de Russell y, en consecuencia, no está permitida. Sin embargo, algunas variantes no estándar de la teoría de conjuntos incluyen un conjunto universal.
Notación
No existe una notación estándar para el conjunto universal de una teoría de conjuntos dada. Los símbolos comunes incluyen V , U y ξ . [ cita requerida ]
Razones de la inexistencia
Muchas teorías de conjuntos no permiten la existencia de un conjunto universal. Por ejemplo, se contradice directamente con axiomas como el axioma de regularidad y su existencia implicaría inconsistencias. En cambio, la teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel se basa en la jerarquía acumulativa .
La paradoja de Russell
La paradoja de Russell impide la existencia de un conjunto universal en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y otras teorías de conjuntos que incluyen el axioma de comprensión de Zermelo . Este axioma establece que, para cualquier fórmulay cualquier conjunto A , existe un conjunto
que contiene exactamente aquellos elementos x de A que satisfacen.
Con elegido como , se deduce que el subconjunto nunca es miembro de , ya que, como observó Bertrand Russell , la alternativa es paradójica: si se contiene a sí mismo, entonces no debería contenerse a sí mismo, y viceversa.
Por lo tanto, dado que para cada conjunto podemos encontrar un conjunto que no contiene, tampoco hay un conjunto de todos los conjuntos. De hecho, esto es válido incluso con la Comprensión Predicativa y con la lógica intuicionista .
Teorema de cantor
Una segunda dificultad con la idea de un conjunto universal se refiere al conjunto de potencias del conjunto de todos los conjuntos. Dado que este conjunto de potencias es un conjunto de conjuntos, necesariamente sería un subconjunto del conjunto de todos los conjuntos, siempre que ambos existan. Sin embargo, esto entra en conflicto con el teorema de Cantor de que el conjunto de potencias de cualquier conjunto (ya sea infinito o no) siempre tiene una cardinalidad estrictamente más alta que el conjunto en sí.
Teorías de la universalidad
Las dificultades asociadas con un conjunto universal se pueden evitar utilizando una variante de la teoría de conjuntos en la que el axioma de comprensión está restringido de alguna manera, o utilizando un objeto universal que no se considera un conjunto.
Comprensión restringida
Hay teorías de conjuntos que se sabe que son consistentes (si la teoría de conjuntos habitual es consistente) en las que el conjunto universal V sí existe (yes verdad). En estas teorías, el axioma de comprensión de Zermelo no se sostiene en general, y el axioma de comprensión de la teoría de conjuntos ingenua está restringido de una manera diferente. Una teoría de conjuntos que contiene un conjunto universal es necesariamente una teoría de conjuntos no bien fundada . La teoría de conjuntos con un conjunto universal más ampliamente estudiada es New Foundations de Willard Van Orman Quine . Alonzo Church y Arnold Oberschelp también publicaron trabajos sobre tales teorías de conjuntos. Church especuló que su teoría podría extenderse de una manera consistente con la de Quine, [2] [3] pero esto no es posible para la de Oberschelp, ya que en ella la función singleton es probablemente un conjunto, [4] lo que conduce inmediatamente a la paradoja en New Cimientos. [5]
Otro ejemplo es la teoría de conjuntos positivos , donde el axioma de comprensión está restringido para ser válido solo para las fórmulas positivas (fórmulas que no contienen negaciones). Tales teorías de conjuntos están motivadas por nociones de cierre en topología.
Objetos universales que no son conjuntos
La idea de un conjunto universal parece intuitivamente deseable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , particularmente porque la mayoría de las versiones de esta teoría permiten el uso de cuantificadores en todos los conjuntos (ver cuantificador universal ). Una forma de permitir un objeto que se comporte de manera similar a un conjunto universal, sin crear paradojas, es describir V y grandes colecciones similares como clases adecuadas en lugar de como conjuntos. Una diferencia entre un conjunto universal y una clase universal es que la clase universal no se contiene a sí misma, porque las clases propias no pueden ser elementos de otras clases. [ cita requerida ] La paradoja de Russell no se aplica en estas teorías porque el axioma de comprensión opera en conjuntos, no en clases.
La categoría de conjuntos también puede considerarse un objeto universal que, de nuevo, no es en sí mismo un conjunto. Tiene todos los conjuntos como elementos y también incluye flechas para todas las funciones de un conjunto a otro. Una vez más, no se contiene a sí mismo, porque no es en sí mismo un conjunto.
Ver también
Notas
- ^ Forster 1995 p. 1.
- ^ Iglesia 1974 p. 308. Véase también Forster 1995 p. 136 o 2001 p. 17.
- ^ Flash Sheridan (2016). "Una variante de la teoría de conjuntos de Church con un conjunto universal en el que la función Singleton es un conjunto" (PDF) . Logique et Analyze . 59 (233). §0.2. doi : 10.2143 / LEA.233.0.3149532 . Lay resumen (PDF) .
- ^ Oberschelp 1973 p. 40.
- ^ Holmes 1998 p. 110.
Referencias
- Iglesia de Alonzo (1974). “Teoría de conjuntos con un conjunto universal”, Actas del Simposio de Tarski. Actas de Symposia in Pure Mathematics XXV, ed. L. Henkin, American Mathematical Society, págs. 297-308.
- TE Forster (1995). Teoría de conjuntos con un conjunto universal: exploración de un universo sin tipo (Oxford Logic Guides 31) . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-851477-8.
- TE Forster (2001). "Teoría de conjuntos de la Iglesia con un conjunto universal".
- Bibliografía: Teoría de conjuntos con un conjunto universal , originada por TE Forster y mantenida por Randall Holmes.
- Arnold Oberschelp (1973). “Establecer la teoría sobre las clases”, Dissertationes Mathematicae 106.
- Willard Van Orman Quine (1937) “Nuevos fundamentos para la lógica matemática”, American Mathematical Monthly 44, págs. 70–80.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Conjunto universal" . MathWorld .