La transformación de Prandtl-Glauert es una técnica matemática que permite resolver ciertos problemas de flujo compresible mediante métodos de cálculo de flujo incompresible . También permite aplicar datos de flujo incompresible a casos de flujo comprimible.
Formulación matemática
El flujo compresible invisible sobre cuerpos delgados se rige por la ecuación de potencial de pequeña perturbación comprimible linealizada: [1]
junto con la condición de límite de tangencia de flujo de pequeña perturbación.
es el número de Mach de freestream, y son los componentes vectoriales normales a la superficie. La variable desconocida es el potencial de perturbación., y la velocidad total viene dada por su gradiente más la velocidad de la corriente libre que se supone que aquí está junto .
La formulación anterior es válida solo si se aplica la aproximación de pequeñas perturbaciones, [2]
y además que no hay flujo transónico, aproximadamente indicado por el requisito de que el número de Mach local no exceda la unidad.
La transformación Prandtl-Glauert (PG) utiliza el factor Prandtl-Glauert . Se compone de escalar hacia abajo todos los Y y Z dimensiones y ángulo de ataque por el factor de el potencial por y la componente x de los vectores normales por:
Esto La geometría tendrá entonces vectores normales cuyas componentes x se reducen en de los originales:
La ecuación del potencial de pequeña perturbación luego se transforma en la ecuación de Laplace,
y la condición de límite de flujo-tangencia conserva la misma forma.
Este es el problema del flujo de potencial incompresible sobre el transformado geometría. Se puede resolver mediante métodos incompresibles, como la teoría de la superficie aerodinámica delgada, los métodos de celosía de vórtice, los métodos de panel, etc. o sus componentes de gradiente en el espacio transformado. El coeficiente de presión físico linealizado se obtiene luego mediante la transformación inversa
que se conoce como la regla de Göthert [3]
Resultados
Para el flujo bidimensional , el resultado neto es que y también los coeficientes de sustentación y momento se incrementan por el factor :
dónde son los valores de flujo incompresible para el original (sin escala)geometría. Este resultado solo en 2D se conoce como la regla de Prandtl. [4]
Para flujos tridimensionales , estos simplesNO se aplican escamas. En cambio, es necesario trabajar con la escala geometría como se indica arriba, y use la regla de Göthert para calcular la y posteriormente las fuerzas y momentos. No es posible obtener resultados simples, excepto en casos especiales. Por ejemplo, usando la teoría de la línea de elevación para un ala elíptica plana, el coeficiente de elevación es
donde AR es la relación de aspecto del ala. Tenga en cuenta que en el caso 2D donde AR → ∞ esto se reduce al caso 2D, ya que en el flujo 2D incompresible para una superficie aerodinámica plana tenemossegún lo dado por la teoría de la superficie aerodinámica delgada .
Limitaciones
La transformación PG funciona bien para todos los números Mach de flujo libre hasta 0,7 aproximadamente, o una vez que comienza a aparecer el flujo transónico. [2]
Historia
Ludwig Prandtl había estado enseñando esta transformación en sus conferencias durante un tiempo, sin embargo, la primera publicación fue en 1928 por Hermann Glauert . [5] La introducción de esta relación permitió el diseño de aeronaves que podían operar en áreas de mayor velocidad subsónica. [6] Originalmente, todos estos resultados se desarrollaron para flujo 2D. Göthert finalmente se dio cuenta en 1946 de que la distorsión geométrica inducida por la transformación PG hace que la simple regla de Prandtl 2D no sea válida para 3D, y estableció correctamente el problema de 3D completo como se describe anteriormente.
La transformación PG fue extendida por Jakob Ackeret a los flujos supersónicos-libres. Al igual que para el caso subsónico, el caso supersónico es válido solo si no hay efecto transónico, lo que requiere que el cuerpo sea delgado y la corriente libre de Mach esté suficientemente por encima de la unidad.
Singularidad
Cerca de la velocidad sónica la transformación PG presenta una singularidad . La singularidad también se denomina singularidad de Prandtl-Glauert , y la resistencia al flujo se calcula para acercarse al infinito. En realidad, las perturbaciones aerodinámicas y termodinámicas se amplifican fuertemente cerca de la velocidad sónica, pero no ocurre una singularidad. Una explicación para esto es que la ecuación de potencial de pequeña perturbación linealizada anterior no es válida, ya que supone que solo hay pequeñas variaciones en el número de Mach dentro del flujo y ausencia de choques de compresión y, por lo tanto, faltan ciertos términos no lineales. Sin embargo, estos se vuelven relevantes tan pronto como cualquier parte del campo de flujo se acelera por encima de la velocidad del sonido, y se vuelven esenciales cerca La ecuación no lineal más correcta no exhibe la singularidad.
Ver también
Referencias
Citas
- ^ Kuethe y Chow 1976 , págs. 248-.
- ↑ a b Shapiro, 1953 .
- ^ Göthert, 1946 .
- ^ Truckenbrodt 1996 , págs. 178-9.
- ↑ Glauert , 1928 , pág. 113-119.
- ^ Meier 2005 .
Fuentes
- Göthert, BH (1940), Ebene und räumliche Strömung bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten: Erweiterung der Prandtl'schen Regel [ Flujo plano y tridimensional a altas velocidades subsónicas: extensión de la regla de Prandtl ] (en alemán), Berlín: Zentrale fuer Wissenswesliches Berich
- Glauert, H. (1928). "El efecto de la compresibilidad en la elevación de un perfil aerodinámico" . Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas e Ingeniería . 118 (779): 113-119. Código bibliográfico : 1928RSPSA.118..113G . doi : 10.1098 / rspa.1928.0039 . ISSN 1364-5021 .
- Kuethe, Arnold Martin; Chow, Chuen-Yen (1976). Fundamentos de la aerodinámica: bases del diseño aerodinámico . Wiley. ISBN 978-0-471-50953-0.
- Meier, H.-U. (2005), "Die Entwicklung des Pfeilflügels, eine technische Herausforderung" [La evolución del ala en flecha, un desafío técnico] (PDF) , Conferencia conmemorativa de Ludwig Prandtl, GAMM 2005, 28 de marzo - 1 de abril de 2005 (en alemán) Universität Luxemburg
- Shapiro, Ascher H. (1953). La dinámica y termodinámica del flujo de un fluido compresible . Vol. 1. Wiley. ISBN 9780471066910.
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tiene texto extra ( ayuda ) - Truckenbrodt, Erich (1996). Fluidmechanik [ Mecánica de fluidos ] (en alemán). Vol. 2 (4ª ed.). Springer Verlag.
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tiene texto extra ( ayuda )