La teoría de la línea de elevación de Prandtl [1] es un modelo matemático que predice la distribución de la elevación sobre un ala tridimensional basándose en su geometría. También se conoce como la teoría del ala de Lanchester-Prandtl. [2]
La teoría fue expresada de forma independiente [3] por Frederick W. Lanchester en 1907, [4] y por Ludwig Prandtl en 1918-1919 [5] después de trabajar con Albert Betz y Max Munk .
En este modelo, el vórtice ligado pierde fuerza a lo largo de toda la envergadura porque se desprende como una hoja de vórtice desde el borde de fuga, en lugar de solo como un vórtice único de las puntas de las alas. [6] [7]
Introducción
Es difícil predecir analíticamente la cantidad total de sustentación que generará un ala de geometría determinada. Al analizar un ala finita tridimensional , la primera aproximación a la comprensión es considerar cortar el ala en secciones transversales y analizar cada sección transversal de forma independiente como un ala en un mundo bidimensional. Cada uno de estos cortes se llama perfil aerodinámico , y es más fácil entender un perfil aerodinámico que un ala tridimensional completa.
Uno podría esperar que comprender el ala completa simplemente implica sumar las fuerzas calculadas independientemente de cada segmento de la superficie aerodinámica. Sin embargo, resulta que esta aproximación es tremendamente incorrecta: en un ala real, la sustentación sobre cada segmento de ala (sustentación local por unidad de vano, o ) no se corresponde simplemente con lo que predice el análisis bidimensional. En realidad, la cantidad local de sustentación en cada sección transversal no es independiente y se ve fuertemente afectada por las secciones de ala vecinas.
La teoría de la línea de elevación corrige algunos de los errores en el enfoque bidimensional ingenuo, al incluir algunas de las interacciones entre los cortes del ala. Produce la distribución de elevación a lo largo de la dirección del tramo, basado en la geometría del ala (distribución de la cuerda, el perfil aerodinámico y la torsión en el tramo) y las condiciones de flujo (, , ).
Principio
La teoría de la línea de elevación aplica el concepto de circulación y el teorema de Kutta-Joukowski ,
de modo que en lugar de la función de distribución de elevación , lo desconocido se convierte efectivamente en la distribución de la circulación en el tramo,.
La distribución de la sustentación sobre un ala se puede modelar con el concepto de circulación.
Un vórtice se derrama corriente abajo por cada cambio de elevación en el tramo
Modelar el ascensor local (desconocido y buscado) con la circulación local (también desconocida) nos permite dar cuenta de la influencia de una sección sobre sus vecinos. Desde este punto de vista, cualquier cambio de elevación en un tramo es equivalente a un cambio de circulación en un tramo. Según los teoremas de Helmholtz , un filamento de vórtice no puede comenzar ni terminar en el aire. Cualquier cambio en la sustentación a lo largo del tramo puede modelarse como el desprendimiento de un filamento de vórtice por el flujo , detrás del ala.
Este vórtice vertido, cuya fuerza es la derivada de la (desconocida) distribución de la circulación del ala local, , influye en el flujo a izquierda y derecha de la sección del ala.
El vórtice vertido se puede modelar como una distribución de velocidad vertical
La corriente ascendente y descendente inducida por el vórtice de vertido se puede calcular en cada segmento vecino.
Esta influencia lateral (upwash en el exterior, downwash en el interior) es la clave de la teoría de la línea de elevación. Ahora, si se conoce el cambio en la distribución de la elevación en una sección de elevación dada, es posible predecir cómo esa sección influye en la elevación sobre sus vecinos: la velocidad inducida vertical (upwash o downwash,) puede cuantificarse utilizando la distribución de velocidad dentro de un vórtice y relacionarse con un cambio en el ángulo de ataque efectivo sobre las secciones vecinas.
En términos matemáticos, el cambio de ángulo de ataque inducido localmente en una sección dada se puede cuantificar con la suma integral de la corriente descendente inducida por cada otra sección del ala. A su vez, la suma integral de la sustentación en cada sección de ala lavada hacia abajo es igual a la cantidad total deseada de sustentación (conocida).
Esto conduce a una ecuación integro-diferencial en forma de dónde se expresa únicamente en términos de la geometría del ala y su propia variación de envergadura, . La solución a esta ecuación es una función,, que describe con precisión la distribución de la circulación (y por lo tanto de la sustentación) sobre un ala finita de geometría conocida.
Derivación
(Basado en. [8] )
Nomenclatura:
- es la circulación en toda el ala (m² / s)
- es el coeficiente de sustentación 3D (para todo el ala)
- es la relación de aspecto
- es el ángulo de ataque de la corriente libre (rad)
- es la velocidad de la corriente libre (m / s)
- es el coeficiente de arrastre para arrastre inducido
- es el factor de eficiencia de la forma en planta
Las siguientes son todas las funciones de la estación de alas. (es decir, todos pueden variar a lo largo del ala)
- es el coeficiente de elevación 2D (unidades / m)
- es la circulación 2D en una sección (m / s)
- es la longitud de la cuerda de la sección local
- es el cambio local en el ángulo de ataque debido al giro geométrico del ala
- es el ángulo de ataque de elevación cero de esa sección (depende de la geometría de la superficie aerodinámica)
- es la pendiente del coeficiente de sustentación 2D (unidades / m⋅rad, y depende de la geometría del perfil aerodinámico, consulte la teoría del perfil aerodinámico delgado )
- es un cambio en el ángulo de ataque debido a la corriente descendente
- es la velocidad de lavado local
Para derivar el modelo, partimos de la suposición de que la circulación del ala varía en función de las ubicaciones del tramo. La función asumida es una función de Fourier. En primer lugar, la coordenada para la ubicación del tramo es transformado por , donde y es la ubicación del tramo y s es el semi tramo del ala.
por lo que se supone que la circulación es:
Dado que la circulación de una sección está relacionada con la por la ecuación:
pero como el coeficiente de sustentación es función del ángulo de ataque:
por lo tanto, la fuerza del vórtice en cualquier estación de tramo particular puede estar dada por las ecuaciones:
Esta única ecuación tiene dos incógnitas: el valor de y el valor de . Sin embargo, el lavado es puramente una función de la circulación únicamente. Entonces podemos determinar el valor en términos de , lleve este término al lado izquierdo de la ecuación y resuelva. La corriente descendente en cualquier estación determinada es una función de todo el sistema de vórtice del cobertizo. Esto se determina integrando la influencia de cada vórtice de vertido diferencial sobre la envergadura del ala.
Elemento diferencial de circulación:
Diferencial descendente debido al elemento diferencial de circulación (actúa como la mitad de una línea de vórtice infinita):
La ecuación integral sobre la envergadura del ala para determinar la corriente descendente en una ubicación particular es:
Después de las sustituciones e integraciones adecuadas, obtenemos:
Y así, el cambio en el ángulo de ataque está determinado por ( asumiendo ángulos pequeños ):
Sustituyendo las ecuaciones 8 y 9 en el RHS de la ecuación 4 y la ecuación 1 en el LHS de la ecuación 4, obtenemos:
Después de reorganizar, obtenemos la serie de ecuaciones simultáneas:
Al tomar un número finito de términos, la ecuación 11 se puede expresar en forma de matriz y resolver los coeficientes A. Observe que el lado izquierdo de la ecuación representa cada elemento de la matriz, y los términos en el RHS de la ecuación 11 representan el RHS de la forma matricial. Cada fila en la forma de matriz representa una estación de tramo diferente, y cada columna representa un valor diferente para n.
Opciones adecuadas para son como una variación lineal entre . Tenga en cuenta que este rango no incluye los valores de 0 y, ya que esto conduce a una matriz singular, que no se puede resolver.
Levantar y arrastrar a partir de coeficientes
La elevación se puede determinar integrando los términos de circulación:
que se puede reducir a:
dónde es el primer término de la solución de las ecuaciones simultáneas mostradas arriba.
El arrastre inducido se puede determinar a partir de
que también se puede reducir a:
dónde son todos los términos de la solución de las ecuaciones simultáneas mostradas arriba.
Además, esta expresión puede organizarse en función de de la siguiente manera :
dónde
es el factor de eficiencia del tramo
Ala simétrica
Para un ala simétrica, los términos pares de los coeficientes de la serie son idénticamente iguales a 0, por lo que pueden descartarse.
Alas rodantes
Cuando la aeronave está rodando, se puede agregar un término adicional que suma la distancia de la estación del ala multiplicada por la velocidad de alabeo para dar un cambio adicional en el ángulo de ataque. La ecuación 3 se convierte entonces en:
dónde
- es la velocidad de balanceo en rad / seg,
Tenga en cuenta que y puede ser negativo, lo que introduce coeficientes pares distintos de cero en la ecuación que deben tenerse en cuenta.
Cuando el ala está rodando, el arrastre inducido se altera porque el vector de sustentación gira en cada estación de tramo debido a la velocidad de balanceo. [9] La resistencia inducida resultante para un ala con una velocidad de balanceo es
dónde
- es la velocidad de laminación adimensional.
Un cambio similar en la resistencia inducida también está presente cuando el ala está batiendo, y comprende la producción principal de empuje para batir las alas. [9]
Control de deflexión
El efecto de los alerones se puede explicar simplemente cambiando término en la Ecuación 3. Para controles no simétricos como alerones, el el término cambia a cada lado del ala.
Alas elípticas
Para un ala elíptica sin torsión, con:
La longitud de la cuerda se da en función de la ubicación del tramo como:
También,
Esto produce la famosa ecuación para el coeficiente de arrastre inducido elíptico:
dónde
- es el valor de la envergadura del ala,
- es la posición en la envergadura del ala, y
- es el acorde.
Solución de Fourier descompuesta
Se puede utilizar una solución descompuesta de la serie Fourier para estudiar los efectos de la forma en planta, la torsión, la deflexión de control y la velocidad de laminación de forma individual. [10] [11]
Aproximaciones útiles
Una aproximación útil [ cita requerida ] es que
dónde
- es el coeficiente de elevación 3D para la distribución de la circulación elíptica,
- es la pendiente del coeficiente de sustentación 2D (consulte la teoría del perfil aerodinámico delgado ),
- es la relación de aspecto , y
- es el ángulo de ataque en radianes.
El valor teórico de es 2. Tenga en cuenta que esta ecuación se convierte en la ecuación de perfil aerodinámico delgado si AR llega al infinito. [12]
Como se vio anteriormente, la teoría de la línea de elevación también establece una ecuación para la resistencia inducida : [13] [14]
dónde
- es el componente de arrastre inducido del coeficiente de arrastre ,
- es el coeficiente de elevación 3D ,
- es la relación de aspecto ,
- es el número de eficiencia de Oswald (o factor de eficiencia de intervalo). Es igual a 1 para la distribución de circulación elíptica y, por lo general, se tabula para otras distribuciones.
Soluciones interesantes
Según la teoría de la línea de elevación, cualquier forma en planta del ala se puede torcer para producir una distribución de elevación elíptica. [11]
Limitaciones de la teoría
La teoría de la línea de elevación no tiene en cuenta lo siguiente:
- Flujo compresible
- Flujo viscoso
- Alas barridas
- Alas de relación de aspecto baja
- Flujos inestables
Ver también
- Vórtice de herradura
- Teoría de la superficie aerodinámica delgada
- Método de celosía de vórtice
Notas
- ^ Anderson, John D. (2001), Fundamental de aerodinámica , McGraw-Hill, Boston. ISBN 0-07-237335-0 . p360
- ^ Houghton, EL; Carpenter, PW (2003). Butterworth Heinmann (ed.). Aerodinámica para estudiantes de ingeniería (5ª ed.). ISBN 0-7506-5111-3.
- ^ Kármán, Theodore von (1954). Cornell University Press (reproducido por Dover en 2004) (ed.). Aerodinámica: temas seleccionados a la luz de su desarrollo histórico . ISBN 0-486-43485-0.
- ^ Lanchester, Frederick W. (1907). Constable (ed.). Aerodinámica .
- ^ Prandtl, Ludwig (1918). Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (ed.). Tragflügeltheorie .
- ^ Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E., Teoría de las secciones del ala , Sección 1.4
- ^ Clancy, LJ, Aerodinámica , Sección 8.11
- ^ Aerodinámica para estudiantes de la Universidad de Sydney (pdf)
- ^ a b Phillips, WF (28 de febrero de 2014). "Descomposición analítica de ala balanceo y aleteo utilizando la teoría de la línea de elevación" . Diario de aviones . 51 (3): 761–778. doi : 10.2514 / 1.C032399 .
- ^ Phillips, Warren; Alley, Nicholas; Goodrich, Wayne (2003-06-23), "Lifting-Line Analysis of Roll Control and Variable Twist" , 21ª Conferencia de Aerodinámica Aplicada de AIAA , Conferencias de dinámica de fluidos y ubicación conjunta, Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, doi : 10.2514 / 6.2003 -4061 , consultado el 2 de diciembre de 2020
- ^ a b Phillips, WF (1 de enero de 2004). "Análisis de la línea de elevación para alas retorcidas y alas optimizadas para el lavado" . Diario de aviones . 41 (1): 128-136. doi : 10,2514 / 1,262 .
- ^ Explicación del coeficiente de sustentación de Aerospace Web
- ^ Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E., Teoría de las secciones del ala , Sección 1.3
- ^ Clancy, LJ, Aerodinámica , Ecuación 5.7
Referencias
- Clancy, LJ (1975), Aerodinámica , Pitman Publishing Limited, Londres. ISBN 0-273-01120-0
- Abbott, Ira H. y Von Doenhoff, Albert E. (1959), Theory of Wing Sections , Dover Publications Inc., Nueva York. Número de libro estándar 486-60586-8