Se puede usar un conjunto similar de axiomas para definir una estructura topológica usando solo la noción dual de operador interior . [3]
Definición
Operadores de cierre de Kuratowski y debilitaciones
Dejar ser un conjunto arbitrario y su poder establecido . Un operador de cierre de Kuratowski es una operación unitaria con las siguientes propiedades:
[K1] Se conserva el conjunto vacío : ;
[K2] Es extenso : para todos, ;
[K3] Es idempotente : para todos, ;
[K4] It conservas / distribuye más uniones binarias : Para todos , .
Una consecuencia de preservar uniones binarias es la siguiente condición: [4]
[K4 '] Es isotónico : .
De hecho, si reescribimos la igualdad en [K4] como una inclusión, dando el axioma más débil [K4 ''] ( subaditividad ):
[K4 ''] Es subaditivo : para todos , ,
entonces es fácil ver que los axiomas [K4 '] y [K4' '] juntos son equivalentes a [K4] (vea el penúltimo párrafo de la Prueba 2 a continuación).
Kuratowski (1966) incluye un quinto axioma (opcional) que requiere que los conjuntos singleton sean estables bajo cierre: para todos, . Se refiere a los espacios topológicos que satisfacen los cinco axiomas como T 1 -Espacios en contraste con los espacios más generales que, además de cumplir los cuatro axiomas enumerados. De hecho, estos espacios corresponden exactamente a la T topológica 1 -Espacios a través de la correspondencia habitual (véase más adelante). [5]
Si se omite el requisito [K3] , los axiomas definen un operador de cierre Čech . [6] Si se omite [K1] en su lugar, se dice que un operador que satisface [K2] , [K3] y [K4 '] es un operador de cierre de Moore . [7] Un parse llama espacio de cierre de Kuratowski , Čech o Moore dependiendo de los axiomas satisfechos por.
Axiomatizaciones alternativas
Los cuatro axiomas de cierre de Kuratowski pueden ser reemplazados por una sola condición, dada por Pervin: [8]
[P] Para todos , .
Los axiomas [K1] - [K4] pueden derivarse como consecuencia de este requisito:
Escoger . Luego, o . Esto implica inmediatamente [K1] .
Elija un arbitrario y . Luego, aplicando el axioma [K1] ,, lo que implica [K2] .
Escoger y un arbitrario . Luego, aplicando el axioma [K1] ,, que es [K3] .
Elija arbitrario . Aplicando los axiomas [K1] - [K3] , se deriva [K4] .
Alternativamente, Monteiro (1945)error de harvp: sin destino: CITEREFMonteiro1945 ( ayuda )había propuesto un axioma más débil que solo implica [K2] - [K4] : [9]
[M] Para todos , .
El requisito [K1] es independiente de [M] : de hecho, si, el operador definido por la asignación constante satisface [M] pero no conserva el conjunto vacío, ya que. Observe que, por definición, cualquier operador que satisfaga [M] es un operador de cierre de Moore.
MO Botelho y MH Teixeira también demostraron que una alternativa más simétrica a [M] implica axiomas [K2] - [K4] : [2]
[BT] Para todos , .
Estructuras análogas
Operadores interiores, exteriores y de límites
Una noción dual para los operadores de cierre de Kuratowski es la de operador interior de Kuratowski , que es un mapasatisfaciendo los siguientes requisitos similares: [3]
[I1] Se conserva el espacio total : ;
[I2] Es intensivo : para todos, ;
[I3] Es idempotente : para todos, ;
[I4] Se conserva intersecciones binarios : para todos , .
Para estos operadores, se pueden llegar a conclusiones que son completamente análogas a lo que se infirió para los cierres de Kuratowski. Por ejemplo, todos los operadores interiores de Kuratowski son isotónicos , es decir, satisfacen [K4 '] , y debido a la intensidad [I2] , es posible debilitar la igualdad en [I3] a una simple inclusión.
La dualidad entre cierres e interiores de Kuratowski es proporcionada por el operador de complemento natural en, el mapa enviando . Este mapa es una ortocomplementación en la red del conjunto de potencias, lo que significa que satisface las leyes de De Morgan : si es un conjunto arbitrario de índices y ,
Empleando estas leyes, junto con las propiedades definitorias de , se puede demostrar que cualquier interior de Kuratowski induce un cierre de Kuratowski (y viceversa), a través de la relación definitoria (y ). Cada resultado obtenido con respecto a puede convertirse en un resultado relativo empleando estas relaciones junto con las propiedades de la ortocomplementación .
Pervin (1964) proporciona además axiomas análogos para los operadores exteriores de Kuratowski [3] y los operadores de límites de Kuratowski , [10] que también inducen cierres de Kuratowski a través de las relaciones y .
Operadores abstractos
Observe que los axiomas [K1] - [K4] pueden adaptarse para definir una operación unaria abstracta en una celosía general delimitada , sustituyendo formalmente la inclusión de la teoría de conjuntos con el orden parcial asociado a la celosía, la unión de la teoría de conjuntos con la operación de unión y las intersecciones de la teoría de conjuntos con la operación de encuentro; de manera similar para los axiomas [I1] - [I4] . Si la celosía está ortocomplementada, estas dos operaciones abstractas se inducen entre sí de la forma habitual. Los operadores de interior o de cierre abstracto se pueden utilizar para definir una topología generalizada en la red.
Dado que ni las uniones ni el conjunto vacío aparecen en el requisito de un operador de cierre de Moore, la definición puede adaptarse para definir un operador unario abstracto en un poset arbitrario.
Conexión con otras axiomatizaciones de topología
Inducción de topología desde el cierre
Un operador de cierre induce naturalmente una topología de la siguiente manera. Dejarser un conjunto arbitrario. Diremos que un subconjuntoestá cerrado con respecto a un operador de cierre de Kuratowskisi y solo si es un punto fijo de dicho operador, es decir, es estable bajo, es decir . La afirmación es que la familia de todos los subconjuntos del espacio total que son complementos de conjuntos cerrados satisface los tres requisitos habituales para una topología, o de manera equivalente, la familia de todos los conjuntos cerrados satisface lo siguiente:
[T2] Está completo en intersecciones arbitrarias , es decir, si es un conjunto arbitrario de índices y , luego ;
[T3] Está completo bajo uniones finitas , es decir, si es un conjunto finito de índices y , luego .
Note que, por idempotencia [K3] , uno puede escribir sucintamente.
Prueba 1.
[T1] Por extensividad [K2] , y dado que el cierre mapea el conjunto de poder de en sí mismo (es decir, la imagen de cualquier subconjunto es un subconjunto de ), tenemos . Por lo tanto. La preservación del conjunto vacío [K1] implica fácilmente.
[T2] A continuación, vamos ser un conjunto arbitrario de índices y dejar estar cerrado para cada . Por extensividad [K2] ,. Además, por isotonicidad [K4 '] , sipara todos los índices , luego para todos , lo que implica . Por lo tanto,, significado .
[T3] Finalmente, dejemos ser un conjunto finito de índices y dejar estar cerrado para cada . De la preservación de las uniones binarias [K4] , y usando la inducción en el número de subconjuntos de los cuales tomamos la unión, tenemos. Por lo tanto,.
Inducción de cierre de topología
Por el contrario, dada una familia satisfaciendo los axiomas [T1] - [T3] , es posible construir un operador de cierre de Kuratowski de la siguiente manera: si y es la inclusión molesta de, luego
define un operador de cierre de Kuratowski en .
Prueba 2.
[K1] Desde, se reduce a la intersección de todos los conjuntos de la familia ; peropor axioma [T1] , por lo que la intersección colapsa al conjunto nulo y sigue [K1] .
[K2] Por definición de, tenemos eso para todos , y por lo tanto debe estar contenido en la intersección de todos esos conjuntos. De ahí sigue la extensividad [K2] .
[K3] Fíjate que, para todos, la familia contiene en sí mismo como un elemento mínimo de inclusión. Por eso, que es idempotencia [K3] .
[K4 '] Deja: luego , y por lo tanto . Dado que la última familia puede contener más elementos que la primera, encontramos, que es isotonicidad [K4 '] . Tenga en cuenta que la isotonicidad implica y , que juntos implican .
[K4] Finalmente, arregle. Axioma [T2] implica; además, el axioma [T2] implica que. Por extensividad [K2] uno tiene y , así que eso . Pero, para que en general . Desde entonces es un elemento mínimo de wrt inclusión, encontramos . El punto 4. asegura la aditividad [K4] .
Correspondencia exacta entre las dos estructuras
De hecho, estas dos construcciones complementarias son inversas entre sí: si es la recopilación de todos los operadores de cierre de Kuratowski en , y es la colección de todas las familias que consta de complementos de todos los conjuntos en una topología, es decir, la colección de todas las familias que satisfacen [T1] - [T3] , entonces tal que es una biyección, cuya inversa viene dada por la asignación .
Prueba 3.
Primero probamos que , el operador de identidad en . Para un cierre de Kuratowski dado, definir ; Entonces sí su cierre cebado es la intersección de todos -conjuntos estables que contienen . Su cierre sin imprimaciónsatisface esta descripción: por extensividad [K2] tenemos, y por idempotencia [K3] tenemos, y por lo tanto . Ahora deja tal que : por isotonicidad [K4 '] tenemos, y desde concluimos que . Por eso es el elemento mínimo de wrt inclusión, lo que implica .
Ahora probamos que . Si y es la familia de todos los conjuntos que son estables bajo , el resultado sigue si ambos y . Dejar: por eso . Desde es la intersección de una subfamilia arbitraria de , y este último está completo bajo intersecciones arbitrarias por [T2] , entonces. Por el contrario, si, luego es el superconjunto mínimo de que está contenido en . Pero eso es trivialmente sí mismo, implicando .
Observamos que también se puede extender la biyección a la colección de todos los operadores de cierre Čech, que contiene estrictamente ; esta extensión también es sobreyectiva, lo que significa que todos los operadores de cierres Čech en también inducir una topología en . [11] Sin embargo, esto significa que ya no es una biyección.
Ejemplos de
Como se discutió anteriormente, dado un espacio topológico podemos definir el cierre de cualquier subconjunto ser el set , es decir, la intersección de todos los conjuntos cerrados de que contienen . El conjunto es el conjunto cerrado más pequeño de conteniendo , y el operador es un operador de cierre de Kuratowski.
Arreglar un arbitrario , y deja ser tal que para todos . Luegodefine un cierre de Kuratowski; la familia correspondiente de conjuntos cerrados coincide con , la familia de todos los subconjuntos que contienen . Cuándo, una vez más recuperamos la topología discreta (es decir , como puede verse en las definiciones).
Si es un número cardinal tal que , luego el operador tal que
Dado que cualquier cierre de Kuratowski es isotónico, y también lo es obviamente cualquier mapeo de inclusión, uno tiene la conexión (isotónica) de Galois, siempre que una vista como poset con respecto a la inclusión, y como una subposicion de . De hecho, se puede verificar fácilmente que, para todos y , si y solo si .
Si es una subfamilia de , luego
Si , luego .
Conceptos topológicos en términos de cierre
Refinamientos y subespacios
Un par de cierres de Kuratowski tal que para todos inducir topologías tal que , y viceversa. En otras palabras, domina si y solo si la topología inducida por el último es un refinamiento de la topología inducida por el primero, o de manera equivalente . [13] Por ejemplo, domina claramente (este último solo es la identidad en ). Dado que se puede llegar a la misma conclusión sustituyendo con la familia conteniendo los complementos de todos sus miembros, si está dotado de la orden parcial para todos y está dotado del orden de refinamiento, entonces podemos concluir que es un mapeo antitónico entre posets.
En cualquier topología inducida (en relación con el subconjunto A ), los conjuntos cerrados inducen un nuevo operador de cierre que es solo el operador de cierre original restringido a A :, para todos . [14]
Mapas continuos, mapas cerrados y homeomorfismos
Una función es continuo en un punto si , y es continuo en todas partes si
para todos los subconjuntos . [15] El mapeo es un mapa cerrado si se cumple la inclusión inversa, [16] y es un homeomorfismo si es tanto continuo como cerrado, es decir, si se cumple la igualdad. [17]
Axiomas de separación
Dejar ser un espacio de cierre de Kuratowski. Luego
es un espacio T 0 iff implica ; [18]
es un espacio T 1 iff para todos ; [19]
es un espacio T 2 iff implica que existe un conjunto tal que ambos y , dónde es el operador de complemento de conjunto. [20]
Cercanía y separación
Un punto está cerca de un subconjunto Si Esto se puede utilizar para definir una relación de proximidad en los puntos y subconjuntos de un conjunto. [21]
Dos conjuntos están separados si . El espacioestá conectado si no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos separados. [22]
Ver también
Espacio topológico
Operador de cierre
Operador de cierre Čech
Álgebra de cierre
Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
Notas
^ Kuratowski (1922) .
↑ a b Monteiro (1945) , p. 160error de harvp: sin destino: CITEREFMonteiro1945 ( ayuda ).
↑ a b c Pervin (1964) , pág. 44.
^ Pervin (1964) , pág. 43, ejercicio 6.
^ Kuratowski (1966) , p. 38.
^ Arkhangel'skij y Fedorchuk (1990) , p. 25.
^ "Cierre de Moore" . nLab . 7 de marzo de 2015 . Consultado el 19 de agosto de 2019 .
^ Pervin (1964) , pág. 42, ejercicio 5.
↑ Monteiro (1945) , p. 158error de harvp: sin destino: CITEREFMonteiro1945 ( ayuda ).
^ Pervin (1964) , pág. 46, ejercicio 4.
^ Arkhangel'skij y Fedorchuk (1990) , p. 26.
^ Una prueba del caso se puede encontrar en "¿El siguiente es un operador de cierre de Kuratowski?" . Stack Exchange . 21 de noviembre de 2015.
^ Pervin (1964) , pág. 43, ejercicio 10.
^ Pervin (1964) , pág. 49, Teorema 3.4.3.
^ Pervin (1964) , pág. 60, Teorema 4.3.1.
^ Pervin (1964) , pág. 66, ejercicio 3.
^ Pervin (1964) , pág. 67, ejercicio 5.
^ Pervin (1964) , pág. 69, Teorema 5.1.1.
^ Pervin (1964) , pág. 70, Teorema 5.1.2.
^ Puede encontrar una prueba en este enlace .
^ Pervin (1964) , págs. 193-196.
^ Pervin (1964) , pág. 51.
Referencias
Kuratowski, Kazimierz (1922) [1920], "Sur l'opération A de l'Analysis Situs" [Sobre la operación A en Analysis Situs] (PDF) , Fundamenta Mathematicae (en francés), 3 , pp. 182-199, resumen laico - Traducción de Mark Bowron (2010).
Kuratowski, Kazimierz (1966) [1958], Topología , I , traducido por Jaworowski, J., Academic Press, ISBN 0-12-429201-1, LCCN 66029221.
Pervin, William J. (1964), Boas, Ralph P. Jr. (ed.), Fundamentos de la topología general , Academic Press, ISBN 9781483225159, LCCN 64-17796.
Arkhangel'skij, AV; Fedorchuk, VV (1990) [1988], Gamkrelidze, RV; Arkhangel'skij, AV; Pontryagin, LS (eds.), Topología general I , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 17 , traducido por O'Shea, DB, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-64767-3, LCCN 89-26209.
Monteiro, António (septiembre de 1943), "Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome" [Caracterización de la operación de cierre por un solo axioma], Portugaliae mathica (en francés) (publicado en 1945), 4 (4), págs. 158–160, Zbl 0060.39406.
enlaces externos
Caracterizaciones alternativas de espacios topológicos