Pre-intuicionismo

En la filosofía matemática , los pre-intuicionistas eran un grupo pequeño pero influyente que compartía informalmente filosofías similares sobre la naturaleza de las matemáticas. El término en sí fue utilizado por LEJ Brouwer , quien en sus conferencias de 1951 en Cambridge describió las diferencias entre el intuicionismo y sus predecesores: ^[1]

De orientación totalmente diferente [a la "Vieja Escuela Formalista" de Dedekind , Cantor , Peano , Zermelo , Couturat , etc.] fue la Escuela Preintuicionista, dirigida principalmente por Poincaré , Borel y Lebesgue . Estos pensadores parecen haber mantenido un punto de vista observacional modificado para la introducción de números naturales , para el principio de inducción completa.[...] Para éstos, incluso para los teoremas deducidos por medio de la lógica clásica, postulaban una existencia y exactitud independientes del lenguaje y la lógica y consideraban cierta su no contradictoridad, incluso sin prueba lógica. Para el continuo, sin embargo, parece que no buscaron un origen estrictamente ajeno al lenguaje y la lógica.

La introducción de los números naturales.

Los pre-intuicionistas, tal como los definió LEJ Brouwer , diferían del punto de vista formalista en varias formas, ^[1] particularmente en lo que respecta a la introducción de números naturales, o cómo se definen / denotan los números naturales. Para Poincaré , la definición de entidad matemática es la construcción de la entidad en sí misma y no una expresión de una esencia o existencia subyacente.

Es decir, no existe ningún objeto matemático sin una construcción humana del mismo, tanto en la mente como en el lenguaje.

El principio de inducción completa.

Este sentido de definición permitió a Poincaré discutir con Bertrand Russell sobre la teoría axiomática de los números naturales de Giuseppe Peano .

El quinto axioma de Peano dice:

• Permitir eso; cero tiene una propiedad P ;
• Y; si cada número natural menor que un número x tiene la propiedad P entonces x también tiene la propiedad P .
• Por lo tanto; cada número natural tiene la propiedad P .

Este es el principio de inducción completa , que establece la propiedad de inducción como necesaria para el sistema. Dado que el axioma de Peano es tan infinito como los números naturales , es difícil probar que la propiedad de P pertenece a cualquier xy también a x  + 1. Lo que se puede hacer es decir que, si después de un número n de ensayos que muestran un propiedad P conserva en x y x  + 1, entonces podemos inferir que todavía se mantenga para ser verdad después de n  ensayos + 1. Pero esto es en sí mismo una inducción. Y, por tanto, el argumento es uncírculo vicioso .

A partir de esto, Poincaré sostiene que si no logramos establecer la consistencia de los axiomas de Peano para los números naturales sin caer en la circularidad, entonces el principio de inducción completa no es demostrable por la lógica general .

Por tanto, la aritmética y las matemáticas en general no son analíticas sino sintéticas . Así se reprendió el lógico y se retuvo la intuición . Lo que Poincaré y los preintuicionistas compartieron fue la percepción de una diferencia entre la lógica y las matemáticas que no es solo una cuestión de lenguaje , sino del conocimiento mismo.

Argumentos sobre el medio excluido

Fue por esta afirmación, entre otras, que Poincaré se consideró similar a los intuicionistas. Para Brouwer , sin embargo, los preintuicionistas no lograron llegar tan lejos como era necesario al despojar las matemáticas de la metafísica, ya que todavía usaban el principium tertii exclusi (la " ley del medio excluido ").

El principio del medio excluido conduce a algunas situaciones extrañas. Por ejemplo, declaraciones sobre el futuro como "Mañana habrá una batalla naval" no parecen ser verdaderas ni falsas todavía . Por lo tanto, existe la duda de si las declaraciones deben ser verdaderas o falsas en algunas situaciones . Para un intuicionista, esto parece clasificar la ley del medio excluido como tan poco rigurosa como el círculo vicioso de Peano .

Sin embargo, para los pre-intuicionistas, esto es mezclar manzanas y naranjas. Para ellos, las matemáticas eran una cosa (una invención confusa de la mente humana, es decir , sintética) y la lógica era otra (analítica).

Otros pre-intuicionistas

Los ejemplos anteriores solo incluyen las obras de Poincaré y, sin embargo, Brouwer también nombró a otros matemáticos como preintuicionistas; Borel y Lebesgue . Otros matemáticos como Hermann Weyl (que finalmente se desencantó del intuicionismo, sintiendo que impone excesivas restricciones al progreso matemático) y Leopold Kronecker también desempeñaron un papel, aunque Brouwer no los cita en su discurso definitivo.

De hecho, Kronecker podría ser el más famoso de los preintuicionistas por su frase singular y frecuentemente citada: "Dios hizo los números naturales; todo lo demás es obra del hombre".

Kronecker va casi en la dirección opuesta a Poincaré , creyendo en los números naturales pero no en la ley del medio excluido. Fue el primer matemático en expresar dudas sobre las pruebas de existencia no constructivas que afirman que algo debe existir porque se puede demostrar que es "imposible" que no exista.

Ver también

• Convencionalismo

Notas

1. Luitzen Egbertus Jan Brouwer (editado por Arend Heyting , Obras completas , Holanda Septentrional, 1975, p. 509.

Referencias

• Meandros lógicos : un breve artículo de Jan Sraathof sobre los diversos ataques de Brouwer a los argumentos de los preintuicionistas sobre el principio del tercero excluido.
• Prueba e intuición : un artículo sobre las muchas variedades de conocimiento que se relacionan con el intuicionista y el lógico.
• Cambridge Lectures on Intuitionism de Brouwer, en las que Brouwer habla sobre la escuela preintuicionista y aborda lo que él ve como sus muchas deficiencias.