superficie de tolva

En geometría compleja , una superficie de Hopf es una superficie compleja compacta obtenida como cociente del espacio vectorial complejo (con cero eliminado) por una acción libre de un grupo discreto. Si este grupo son los números enteros, la superficie de Hopf se llama primaria , de lo contrario, se llama secundaria . (Algunos autores usan el término "superficie de Hopf" para significar "superficie de Hopf primaria".) El primer ejemplo lo encontró Heinz Hopf ( 1948 ), con el grupo discreto isomorfo a los números enteros, con un generador actuando sobre multiplicación por 2; este fue el primer ejemplo de una superficie compleja compacta sin métrica Kähler . $\mathbb {C} ^{2}\setminus\{0\}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$

Las superficies de Hopf son superficies de clase VII y en particular todas tienen dimensión Kodaira , y todos sus plurigéneros desaparecen. El género geométrico es 0. El grupo fundamental tiene un subgrupo cíclico infinito central normal de índice finito. El diamante Hodge es ${\ estilo de visualización - \ infinito}$

En particular, el primer número de Betti es 1 y el segundo número de Betti es 0. Por el contrario , Kunihiko Kodaira ( 1968 ) mostró que una superficie compleja compacta con la desaparición del segundo número de Betti y cuyo grupo fundamental contiene un subgrupo cíclico infinito de índice finito es una superficie de Hopf .

En el curso de la clasificación de superficies complejas compactas , Kodaira clasificó las superficies primarias de Hopf.

donde es un grupo generado por una contracción polinomial . Kodaira ha encontrado una forma normal para . En las coordenadas apropiadas, se puede escribir como ${\ estilo de visualización \ gamma}$ ${\ estilo de visualización \ gamma}$ ${\ estilo de visualización \ gamma}$ ${\ estilo de visualización \ gamma}$

donde satisfacen los números complejos , y o bien . $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ $0<|\alpha |\leq |\beta |<1$ $\lambda =0$ $\alpha =\beta ^{n}$