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La simetría de espejo homológica es una conjetura matemática hecha por Maxim Kontsevich . Busca una explicación matemática sistemática para un fenómeno llamado simetría especular observado por primera vez por los físicos que estudian la teoría de cuerdas .
Historia [ editar ]
En un discurso al Congreso Internacional de Matemáticos de 1994 en Zúrich , Kontsevich (1994) especuló que la simetría especular para un par de variedades X e Y de Calabi-Yau podría explicarse como una equivalencia de una categoría triangulada construida a partir de la geometría algebraica de X ( la categoría derivada de gavillas coherentes en X ) y otra categoría triangulada construida a partir de la geometría simpléctica de Y (la categoría derivada de Fukaya ).
Edward Witten describió originalmente la torsión topológica de la teoría del campo supersimétrico N = (2,2) en lo que llamó las teorías de cuerdas topológicas del modelo A y B [ cita requerida ] . Estos modelos se refieren a mapas de superficies de Riemann a un objetivo fijo, generalmente una variedad Calabi-Yau. La mayoría de las predicciones matemáticas de la simetría especular están integradas en la equivalencia física del modelo A en Y con el modelo B en su espejo X. Cuando las superficies de Riemann tienen un límite vacío, representan las hojas del mundo de cadenas cerradas. Para cubrir el caso de cuerdas abiertas, se deben introducir condiciones de contorno para preservar la supersimetría. En el modelo A, estas condiciones de contorno vienen en forma de subvariedades lagrangianas de Y con alguna estructura adicional (a menudo llamada estructura de brana). En el modelo B, las condiciones de contorno vienen en forma de subvariedades holomórficas (o algebraicas) de X con paquetes de vectores holomórficos (o algebraicos) en ellas. Estos son los objetos que uno usa para construir las categorías relevantes [ cita requerida ]. A menudo se les llama branas A y B respectivamente. Los morfismos en las categorías vienen dados por el espectro sin masa de cuerdas abiertas que se extienden entre dos branas [ cita requerida ] .
Los modelos de cuerda cerrada A y B solo capturan el llamado sector topológico, una pequeña parte de la teoría de cuerdas completa. De manera similar, las branas en estos modelos son solo aproximaciones topológicas a los objetos dinámicos completos que son D-branas . Aun así, las matemáticas resultantes de esta pequeña parte de la teoría de cuerdas han sido profundas y difíciles.
La Escuela de Matemáticas del Instituto de Estudios Avanzados en Princeton planea un año especial dedicado a la Simetría del Espejo Homológico durante el año académico 2016-17. Entre los distinguidos participantes estarán Paul Seidel del MIT , Maxim Kontsevich del IHÉS y Denis Auroux, de UC Berkeley . [1]
 | Este artículo debe actualizarse . ( Enero de 2019 ) |
Ejemplos [ editar ]
Solo en unos pocos ejemplos los matemáticos han podido verificar la conjetura. En su discurso seminal, Kontsevich comentó que la conjetura podría probarse en el caso de curvas elípticas usando funciones theta . Siguiendo esta ruta, Alexander Polishchuk y Eric Zaslow proporcionaron una prueba de una versión de la conjetura de las curvas elípticas. Kenji Fukaya pudo establecer elementos de la conjetura para las variedades abelianas . Más tarde, Kontsevich y Yan Soibelman proporcionaron una prueba de la mayor parte de la conjetura de los haces de toros no singulares sobre variedades afines utilizando ideas de laConjetura de SYZ . En 2003, Paul Seidel demostró la conjetura en el caso de la superficie cuártica . En 2002, Hausel y Thaddeus (2002) explicaron la conjetura de SYZ en el contexto del sistema de Hitchin y la dualidad de Langlands.
Diamante Hodge [ editar ]
Las dimensiones h p , q de los espacios de formas armónicas ( p , q ) -diferenciales (de manera equivalente, la cohomología, es decir, formas cerradas modulo formas exactas) se disponen convencionalmente en una forma de diamante llamada Diamante de Hodge . Estos números (p, q) -betti se pueden calcular para intersecciones completas usando una función generadora descrita por Friedrich Hirzebruch . [2] [3] [4] Para un colector de tres dimensiones, por ejemplo, el diamante tiene Hodge p y q varía de 0 a 3:
| h 3,3 | ||||||
| h 3,2 | h 2,3 | |||||
| h 3,1 | h 2,2 | h 1,3 | ||||
| h 3,0 | h 2,1 | h 1,2 | h 0,3 | |||
| h 2,0 | h 1,1 | h 0,2 | ||||
| h 1,0 | h 0,1 | |||||
| h 0,0 |
La simetría de espejo traduce el número de dimensión de la (p, q) -ésima forma diferencial h p , q para la variedad original en h n-p , q de la de la variedad contra pares. Es decir, para cualquier variedad Calabi-Yau, el diamante de Hodge no cambia por una rotación de π radianes y los diamantes de Hodge de las variedades espejo Calabi-Yau están relacionados por una rotación de π / 2 radianes.
En el caso de una curva elíptica , que se ve como una variedad Calabi-Yau unidimensional, el diamante de Hodge es especialmente simple: es la siguiente figura.
| 1 | ||
| 1 | 1 | |
| 1 |
En el caso de una superficie K3 , que se considera una variedad Calabi-Yau bidimensional, dado que los números Betti son {1, 0, 22, 0, 1}, su diamante Hodge es la siguiente figura.
| 1 | ||||
| 0 | 0 | |||
| 1 | 20 | 1 | ||
| 0 | 0 | |||
| 1 |
En el caso tridimensional, generalmente llamado variedad Calabi-Yau , sucede algo muy interesante. A veces hay pares de espejos, digamos M y W , que tienen diamantes Hodge simétricos entre sí a lo largo de una línea diagonal.
Diamante de M :
| 1 | ||||||
| 0 | 0 | |||||
| 0 | a | 0 | ||||
| 1 | B | B | 1 | |||
| 0 | a | 0 | ||||
| 0 | 0 | |||||
| 1 |
Diamante de W :
| 1 | ||||||
| 0 | 0 | |||||
| 0 | B | 0 | ||||
| 1 | a | a | 1 | |||
| 0 | B | 0 | ||||
| 0 | 0 | |||||
| 1 |
M y W corresponden al modelo A y B en la teoría de cuerdas. La simetría de espejo no solo reemplaza las dimensiones homológicas sino también la estructura simpléctica y la estructura compleja en los pares de espejos. Ese es el origen de la simetría especular homológica.
En 1990-1991, Candelas et al. 1991 tuvo un gran impacto no solo en la geometría algebraica enumerativa sino en todas las matemáticas y motivó a Kontsevich (1994) . El par de espejos de dos trípticos quínticos de este artículo tiene los siguientes diamantes Hodge.
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Ver también [ editar ]
- Conjetura de la simetría de espejo : artículo más basado en matemáticas
- Teoría de campos cuánticos topológicos
- Teoría de categorías
- Homología Floer
- Categoría Fukaya
- Categoría derivada
- Quintic triple
Referencias [ editar ]
- ^ Escuela de matemáticas IAS: año especial sobre simetría de espejo homológica
- ^ "Diamante de Hodge de intersecciones completas" . math.stackexchange.com . Consultado el 6 de marzo de 2017 .
- ^ "Tablas de cohomología para intersecciones completas" . pbelmans.ncag.info . Consultado el 6 de marzo de 2017 .
- ^ Nicolaescu, Liviu. "Hodge números de intersecciones completas" (PDF) .
- Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C .; Green, Paul S .; Parkes, Linda (1991). "Un par de variedades de Calabi-Yau como una teoría superconformal exactamente soluble". Física B nuclear . 359 (1): 21–74. Código Bibliográfico : 1991NuPhB.359 ... 21C . doi : 10.1016 / 0550-3213 (91) 90292-6 . Señor 1115626 .
- Kontsevich, Maxim (1994). "Álgebra homológica de simetría especular". arXiv : alg-geom / 9411018 .
- Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan (2000). "Simetría de espejo homológica y fibraciones en toro". arXiv : math.SG/0011041 .
- Seidel, Paul (2003). "Simetría de espejo homológica para la superficie cuártica". arXiv : matemáticas.SG / 0310414 .
- Hausel, Tamas; Thaddeus, Michael (2002). "Simetría de espejo, dualidad de Langlands y el sistema de Hitchin". Inventiones Mathematicae . 153 (1): 197–229. arXiv : math.DG / 0205236 . Código bibliográfico : 2003InMat.153..197H . doi : 10.1007 / s00222-003-0286-7 . S2CID 11948225 .
