teorema de los números primos

En matemáticas , el teorema de los números primos ( PNT ) describe la distribución asintótica de los números primos entre los enteros positivos. Formaliza la idea intuitiva de que los primos se vuelven menos comunes a medida que se hacen más grandes al cuantificar con precisión la velocidad a la que esto ocurre. El teorema fue demostrado de forma independiente por Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée Poussin en 1896 utilizando ideas introducidas por Bernhard Riemann (en particular, la función zeta de Riemann ).

La primera distribución de este tipo encontrada es $π (N) ~ N / log(N)$ , donde $π (N)$ es la función de conteo de números primos (el número de números primos menor o igual que N ) y $log(N)$ es el logaritmo natural de $n$ _ Esto significa que para $N$ suficientemente grande , la probabilidad de que un entero aleatorio no mayor que $N$ sea primo es muy cercana a $1/log(N)$ . En consecuencia, un entero aleatorio con como máximo $2 n$ dígitos (para $n$ lo suficientemente grande ) tiene aproximadamente la mitad de probabilidades de ser primos que un número entero aleatorio con $n$ dígitos como máximo. Por ejemplo, entre los enteros positivos de 1000 dígitos como máximo, uno de cada 2300 es primo ( $log(10 1000) \approx 2302,6$ ), mientras que entre los enteros positivos de 2000 dígitos como máximo, uno de cada 4600 es primo ( $log(10 2000) ) \approx 4605.2$ ). En otras palabras, la brecha promedio entre números primos consecutivos entre los primeros $N$ enteros es aproximadamente $log(N)$ . ^[1]

Sea $π (x)$ la función de conteo de primos definida como el número de primos menores o iguales que $x$ , para cualquier número real $x$ . Por ejemplo, $π (10) = 4$ porque hay cuatro números primos (2, 3, 5 y 7) menores o iguales a 10. El teorema de los números primos establece entonces que $x / log x$ es una buena aproximación a $π (x)$ (donde log aquí significa el logaritmo natural), en el sentido de que el límite del cociente de las dos funciones $π (x)$ y $x / log x$ a medida que $x$ aumenta sin límite es 1:

conocida como la ley asintótica de la distribución de los números primos . Usando notación asintótica, este resultado se puede reformular como

Esta notación (y el teorema ) no dice nada sobre el límite de la diferencia de las dos funciones cuando $x$ crece sin límite. En cambio, el teorema establece que $x / log x$ se aproxima a $π (x)$ en el sentido de que el error relativo de esta aproximación se aproxima a 0 a medida que $x$ aumenta sin límite.

la notación asintótica significa, de nuevo, que el error relativo de esta aproximación se aproxima a 0 cuando $n$ crece sin límite. por ejemplo, el2 × 10 ¹⁷ número primo es8 512 677 386 048 191 063 , ^[2] y (2 × 10 ¹⁷ )registro(2 × 10 ¹⁷ ) se redondea a7 967 418 752 291 744 388 , un error relativo de alrededor del 6,4%.

Gráfico que muestra la razón de la función de conteo de números primos

π (x)

a dos de sus aproximaciones,

x / log x

Li(x)

. A medida que aumenta

x

(nótese que el eje

x

es logarítmico), ambas relaciones tienden hacia 1. La relación para

x / log x

converge desde arriba muy lentamente, mientras que la relación para

Li(x)

converge más rápidamente desde abajo.

Gráfica log-log que muestra el error absoluto de

x / log x

Li(x)

, dos aproximaciones a la función de conteo de números primos

π (x)

. A diferencia de la razón, la diferencia entre

π (x)

x / log x

aumenta sin límite a medida que aumenta

x

. Por otro lado,

Li(x) - π (x)

cambia de signo infinitas veces.

Gráfico de la función para n ≤ 30000

{\ estilo de visualización \ pi (x; 4,3)-\ pi (x; 4,1)}