En el álgebra , el lema de evitación primer dice que si un ideal que en un anillo conmutativo R está contenida en una unión de un número finito de ideales primos P i 's, entonces se incluirá en P i para algunos i .
Hay muchas variaciones del lema (cf. Hochster); por ejemplo, si el anillo R contiene un campo infinito o un campo finito de cardinalidad suficientemente grande, entonces el enunciado se sigue de un hecho en álgebra lineal de que un espacio vectorial sobre un campo infinito o un campo finito de cardinalidad grande no es una unión finita de sus subespacios vectoriales adecuados. [1]
Declaración y prueba
La siguiente declaración y argumento son quizás los más estándar.
Declaración : Sea E un subconjunto de R que es un subgrupo aditivo de R y es multiplicativamente cerrado. Dejar ser ideales tales que son ideales primordiales para . Si E no está contenido en ninguno de's, entonces E no está contenido en la unión.
Prueba por inducción sobre n : La idea es encontrar un elemento que esté en E y no en ninguno de's. El caso básico n = 1 es trivial. A continuación, suponga que n ≥ 2. Para cada i , elija
donde el conjunto de la derecha no está vacío por hipótesis inductiva. Podemos asumirpor todo yo ; de lo contrario, algunos evita todo el y terminamos. Poner
- .
Entonces z está en E pero no en ninguno de's. De hecho, si z está en para algunos , luego es en , una contradicción. Suponga que z está en. Luego es en . Si n es 2, hemos terminado. Si n > 2, entonces, dado que es un ideal primordial, algunos es en , una contradicción.
La evitación principal de E. Davis
Existe la siguiente variante de evitación principal debido a E. Davis.
Teorema - [2] Sea A un anillo,ideales primos, x un elemento de A y J un ideal. Por el ideal, Si para cada i , entonces existe alguna y en J tal quepara cada i .
Demostración: [3] Argumentamos por inducción en r . Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que no existe una relación de inclusión entre los's; ya que de lo contrario podemos utilizar la hipótesis inductiva.
También si para cada i , entonces hemos terminado; así, sin pérdida de generalidad, podemos asumir. Por hipótesis inductiva, encontramos una y en J tal que. Si no está dentro , hemos terminado. De lo contrario, tenga en cuenta que (desde ) y desde es un ideal primordial, tenemos:
- .
Por lo tanto, podemos elegir en eso no esta en . Entonces, desde, el elemento Tiene la propiedad requerida.
Solicitud
Sea A un anillo noetheriano, I un ideal generado por n elementos y M un módulo A finito tal que. Además, deja= La longitud máxima de M - secuencias regulares en I = la longitud de cada maximal M - secuencia regular en I . Luego; esta estimación se puede mostrar utilizando la evitación de primos anterior de la siguiente manera. Argumentamos por inducción sobre n . Dejarel conjunto de números primos asociados de M . Si, luego para cada i . Si, entonces, mediante la evitación principal, podemos elegir
para algunos en tal que = El conjunto de zerodivisors en M . Ahora, es un ideal de generado por elementos y así, por hipótesis inductiva, . La afirmación sigue ahora.
Notas
- ^ Prueba del hecho: suponga que el espacio vectorial es una unión finita de subespacios propios. Considere un producto finito de funcionales lineales , cada uno de los cuales se desvanece en un subespacio propio que aparece en la unión; entonces es un polinomio distinto de cero quedesaparece de manera idéntica, una contradicción.
- ^ Matsumura , ejercicio 16.8.
- ^ Adaptado de la solución a Matsumura , Ejercicio 1.6.
Referencias
- Mel Hochster , Teoría de la dimensión y sistemas de parámetros , una nota complementaria
- Matsumura, Hideyuki (1986). Teoría del anillo conmutativo . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 8 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-36764-6. Señor 0879273 . Zbl 0603.13001 .