En matemáticas , una rama principal es una función que selecciona una rama ("rebanada") de una función de varios valores . Muy a menudo, esto se aplica a funciones definidas en el plano complejo .
Ejemplos de
Inversas trigonométricas
Las ramas principales se utilizan en la definición de muchas funciones trigonométricas inversas , como la selección para definir que
o eso
- .
Exponenciación a potencias fraccionarias
Una función de rama principal más familiar, limitada a números reales, es la de un número real positivo elevado a la potencia 1/2 .
Por ejemplo, tome la relación y = x 1/2 , donde x es cualquier número real positivo.
Esta relación puede satisfacerse con cualquier valor de y igual a una raíz cuadrada de x (positiva o negativa). Por convención, √ x se usa para denotar la raíz cuadrada positiva de x .
En este caso, la función raíz cuadrada positiva se toma como la rama principal de la relación de múltiples valores x 1/2 .
Logaritmos complejos
Una forma de ver una rama principal es observar específicamente la función exponencial y el logaritmo , tal como se define en el análisis complejo .
La función exponencial tiene un solo valor, donde e z se define como:
dónde .
Sin embargo, la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas involucradas deja en claro que el logaritmo no está determinado de manera tan única. Una forma de ver esto es mirar lo siguiente:
y
donde k es cualquier número entero y atan2 continúa los valores de la función arctan (b / a) desde su rango de valor principal, correspondiente a en el rango de valor principal de la arg (z) -Función, cubriendo los cuatro cuadrantes en el plano complejo.
Cualquier número log z definido por tales criterios tiene la propiedad de que e log z = z .
De esta manera, la función logarítmica es una función de varios valores (a menudo denominada "multifunción" en el contexto de un análisis complejo). Un corte de rama, generalmente a lo largo del eje real negativo, puede limitar la parte imaginaria para que se encuentre entre −π y π . Estos son los valores principales elegidos .
Esta es la rama principal de la función de registro. A menudo se define con una letra mayúscula, Log z .