Teoría del potencial
El término "teoría del potencial" se acuñó en la física del siglo XIX cuando se dio cuenta de que dos fuerzas fundamentales de la naturaleza conocidas en ese momento, a saber, la gravedad y la fuerza electrostática, podían modelarse utilizando funciones llamadas potencial gravitatorio y potencial electrostático , ambos de que satisfacen la ecuación de Poisson —o en el vacío, la ecuación de Laplace .
Existe una superposición considerable entre la teoría del potencial y la teoría de la ecuación de Poisson en la medida en que es imposible establecer una distinción entre estos dos campos. La diferencia es más de énfasis que de tema y se basa en la siguiente distinción: la teoría del potencial se centra en las propiedades de las funciones en oposición a las propiedades de la ecuación. Por ejemplo, se diría que un resultado sobre las singularidades de las funciones armónicas pertenece a la teoría del potencial, mientras que se diría que un resultado sobre cómo la solución depende de los datos de contorno pertenece a la teoría de la ecuación de Laplace. Esta no es una distinción estricta y rápida, y en la práctica existe una superposición considerable entre los dos campos, con métodos y resultados de uno que se utilizan en el otro.
La teoría potencial moderna también está íntimamente relacionada con la probabilidad y la teoría de las cadenas de Markov . En el caso continuo, esto está estrechamente relacionado con la teoría analítica. En el caso del espacio de estado finito, esta conexión se puede realizar introduciendo una red eléctrica en el espacio de estado, con resistencia entre puntos inversamente proporcional a las probabilidades de transición y densidades proporcionales a los potenciales. Incluso en el caso finito, el análogo IK del laplaciano en la teoría potencial tiene su propio principio máximo, principio de unicidad, principio de equilibrio y otros.
Un punto de partida útil y un principio organizador en el estudio de las funciones armónicas es la consideración de las simetrías de la ecuación de Laplace. Aunque no se trata de una simetría en el sentido habitual del término, podemos partir de la observación de que la ecuación de Laplace es lineal . Esto significa que el objeto fundamental de estudio en la teoría del potencial es un espacio lineal de funciones. Esta observación resultará especialmente importante cuando consideremos los enfoques del espacio de funciones para el tema en una sección posterior.
En cuanto a la simetría en el sentido usual del término, podemos comenzar con el teorema de que las simetrías de la ecuación de Laplace bidimensional son exactamente las simetrías conformes del espacio euclidiano bidimensional . Este hecho tiene varias implicaciones. En primer lugar, se pueden considerar funciones armónicas que se transforman bajo representaciones irreducibles del grupo conforme o de sus subgrupos (como el grupo de rotaciones o traslaciones). Procediendo de esta manera, se obtienen sistemáticamente las soluciones de la ecuación de Laplace que surgen de la separación de variables tales como soluciones armónicas esféricas y series de Fourier .. Al tomar superposiciones lineales de estas soluciones, se pueden producir grandes clases de funciones armónicas que pueden mostrarse densas en el espacio de todas las funciones armónicas bajo topologías adecuadas.
En segundo lugar, se puede utilizar la simetría conforme para comprender técnicas y trucos clásicos para generar funciones armónicas como la transformada de Kelvin y el método de las imágenes .