Análisis de límites de probabilidad

El análisis de límites de probabilidad ( PBA ) es una colección de métodos de propagación de la incertidumbre para realizar cálculos cualitativos y cuantitativos frente a incertidumbres de diversos tipos. Se utiliza para proyectar información parcial sobre variables aleatorias y otras cantidades a través de expresiones matemáticas. Por ejemplo, calcula límites seguros en la distribución de una suma, producto o función más compleja, dados solo límites seguros en las distribuciones de las entradas. Dichos límites se denominan cajas de probabilidad y restringen las distribuciones de probabilidad acumulativa (en lugar de las densidades o funciones de masa ).

Este enfoque delimitador permite a los analistas realizar cálculos sin requerir suposiciones demasiado precisas sobre los valores de los parámetros, la dependencia entre las variables o incluso la forma de la distribución. El análisis de límites de probabilidad es esencialmente una combinación de los métodos del análisis de intervalo estándar y la teoría clásica de la probabilidad . El análisis de límites de probabilidad da la misma respuesta que el análisis de intervalo cuando solo se dispone de información de rango. También da las mismas respuestas que la simulación Monte Carlo cuando la información es lo suficientemente abundante como para especificar con precisión las distribuciones de entrada y sus dependencias. Por tanto, es una generalización tanto del análisis de intervalos como de la teoría de la probabilidad.

Los diversos métodos que comprenden el análisis de límites de probabilidad proporcionan algoritmos para evaluar expresiones matemáticas cuando existe incertidumbre sobre los valores de entrada, sus dependencias o incluso la forma de expresión matemática en sí. Los cálculos arrojan resultados que están garantizados para incluir todas las posibles distribuciones de la variable de salida si los p-boxes de entrada también estuvieran seguros de incluir sus respectivas distribuciones. En algunos casos, un p-box calculado también será lo mejor posible en el sentido de que los límites no podrían ser más estrictos sin excluir algunas de las posibles distribuciones.

Los recuadros P suelen ser simplemente límites de posibles distribuciones. Los límites a menudo también encierran distribuciones que no son posibles en sí mismas. Por ejemplo, el conjunto de distribuciones de probabilidad que podría resultar de sumar valores aleatorios sin el supuesto de independencia de dos distribuciones (precisas) es generalmente un subconjunto adecuado de todas las distribuciones encerradas por el cuadro p calculado para la suma. Es decir, hay distribuciones dentro de la caja p de salida que no podrían surgir bajo ninguna dependencia entre las dos distribuciones de entrada. Sin embargo, el p-box de salida siempre contendrá todas las distribuciones que sean posibles, siempre que los p-boxes de entrada estén seguros de incluir sus respectivas distribuciones subyacentes. Esta propiedad suele ser suficiente para su uso en el análisis de riesgos. y otros campos que requieren cálculos bajo incertidumbre.

Historia de la probabilidad límite

La idea de probabilidad límite tiene una tradición muy larga a lo largo de la historia de la teoría de la probabilidad. De hecho, en 1854 George Boole utilizó la noción de límites de intervalo sobre la probabilidad en sus Las leyes del pensamiento . ^{[1] [2]} También data de la segunda mitad del siglo XIX, la desigualdad atribuida a Chebyshev describió límites en una distribución cuando solo se conocen la media y la varianza de la variable, y la desigualdad relacionada atribuida a Markov encontró límites en un variable positiva cuando solo se conoce la media. Kyburg ^[3]revisó la historia de las probabilidades de intervalo y rastreó el desarrollo de las ideas críticas a lo largo del siglo XX, incluida la importante noción de probabilidades incomparables favorecida por Keynes .

De particular interés es la derivación de Fréchet en la década de 1930 de límites en cálculos que involucran probabilidades totales sin supuestos de dependencia. Probabilidades Bounding ha continuado hasta el presente día (por ejemplo, la teoría de Walley de probabilidad imprecisa . ^[4] )

Los métodos de análisis de límites de probabilidad que podrían usarse de forma rutinaria en las evaluaciones de riesgo se desarrollaron en la década de 1980. Hailperin ^[2] describió un esquema computacional para delimitar cálculos lógicos extendiendo las ideas de Boole. Yager ^[5] describió los procedimientos elementales mediante los cuales los límites de las convoluciones pueden calcularse bajo un supuesto de independencia. Aproximadamente al mismo tiempo, Makarov, ^[6] e independientemente, Rüschendorf ^[7] resolvió el problema, originalmente planteado por Kolmogorov , de cómo encontrar los límites superior e inferior para la distribución de probabilidad de una suma de variables aleatorias cuyas distribuciones marginales, pero no se conoce su distribución conjunta. Frank y col. ^[8]generalizó el resultado de Makarov y lo expresó en términos de cópulas . Desde entonces, las fórmulas y algoritmos para sumas se han generalizado y extendido a diferencias, productos, cocientes y otras funciones binarias y unarias bajo varios supuestos de dependencia. ^{[9] [10] [11] [12] [13] [14]}

Expresiones aritméticas

Las expresiones aritméticas que involucran operaciones tales como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, mínimos, máximos, potencias, exponenciales, logaritmos, raíces cuadradas, valores absolutos, etc., se usan comúnmente en análisis de riesgo y modelos de incertidumbre. La convolución es la operación de encontrar la distribución de probabilidad de una suma de variables aleatorias independientes especificadas por distribuciones de probabilidad. Podemos extender el término para encontrar distribuciones de otras funciones matemáticas (productos, diferencias, cocientes y funciones más complejas) y otras suposiciones sobre las dependencias intervariables. Existen algoritmos convenientes para calcular estas convoluciones generalizadas bajo una variedad de suposiciones sobre las dependencias entre las entradas. ^{[5] [9] [10] [14]}

Detalles matemáticos

Dejar ${\displaystyle \mathbb {D} }$denotar el espacio de las funciones de distribución en los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ es decir,

${\displaystyle \mathbb {D} =\{D|D:\mathbb {R} \to [0,1],D(x)\leq D(y){\text{ for all }}x<y\}.}$

Una p-box es un quíntuple

${\displaystyle \left\{{\overline {F}},{\underline {F}},m,v,\mathbf {F} \right\},}$

donde ${\displaystyle {\overline {F}},{\underline {F}}\in \mathbb {D} ,m,v}$ son intervalos reales, y ${\displaystyle \mathbf {F} \subset \mathbb {D} .}$ Este quintuple denota el conjunto de funciones de distribución ${\displaystyle F\in \mathbf {F} \subset \mathbb {D} }$ tal que:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in \mathbb {R} :\qquad &{\overline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\underline {F}}(x)\\[6pt]&\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\in m&&{\text{expectation condition}}\\&\int _{\mathbb {R} }x^{2}dF(x)-\left(\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\right)^{2}\in v&&{\text{variance condition}}\end{aligned}}}$

Si una función satisface todas las condiciones anteriores, se dice que está dentro de la caja p. En algunos casos, puede que no haya información sobre los momentos o la familia de distribución que no sea la codificada en las dos funciones de distribución que constituyen los bordes de la caja p. Entonces el quintuple que representa el p-box${\displaystyle \{B_{1},B_{2},[-\infty ,\infty ],[0,\infty ],\mathbb {D} \}}$se puede denotar de forma más compacta como [ B ₁ , B ₂ ]. Esta notación recuerda a la de los intervalos en la línea real, excepto que los puntos finales son distribuciones en lugar de puntos.

La notación ${\displaystyle X\sim F}$ denota el hecho de que ${\displaystyle X\in \mathbb {R} }$es una variable aleatoria gobernada por la función de distribución F , es decir,

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbb {R} \to [0,1]\\x\mapsto \Pr(X\leq x)\end{cases}}}$

Generalicemos la notación de tilde para usar con p-boxes. Escribiremos X ~ B en el sentido de que X es una variable aleatoria cuya función de distribución es desconocida, excepto que es el interior B . Por tanto, X ~ F ∈ B puede contraerse con X ~ B sin mencionar explícitamente la función de distribución.

Si X e Y son variables aleatorias independientes con distribuciones F y G respectivamente, entonces X + Y = Z ~ H dado por

${\displaystyle H(z)=\int _{z=x+y}F(x)G(y)dz=\int _{\mathbb {R} }F(x)G(z-x)dx=F*G.}$

Esta operación se denomina una convolución en F y G . La operación análoga en p-boxes es sencilla para sumas. Suponer

${\displaystyle X\sim A=[A_{1},A_{2}],\quad {\text{and}}\quad Y\sim B=[B_{1},B_{2}].}$

Si X e Y son estocásticamente independientes, entonces la distribución de Z = X + Y está dentro de la caja p

${\displaystyle \left[A_{1}*B_{1},A_{2}*B_{2}\right].}$

Encontrar límites en la distribución de sumas Z = X + Y sin hacer ninguna suposición sobre la dependencia entre X e Y es en realidad más fácil que el problema asumiendo independencia. Makarov ^{[6] [8] [9]} demostró que

${\displaystyle Z\sim \left[\sup _{z=x+y}\max(F(x)+G(y)-1,0),\inf _{z=x+y}\min(F(x)+G(y),1)\right]}$

Estos límites están implícitos en los límites de la cópula de Fréchet-Hoeffding . El problema también se puede resolver utilizando los métodos de programación matemática . ^[13]

La convolución bajo el supuesto intermedio que X y Y tienen dependencia positiva es igualmente fácil de calcular, ya que es la convolución bajo los supuestos extremos de positiva perfecta o perfecta negativo dependencia entre X y Y . ^[14]

Las convoluciones generalizadas para otras operaciones como resta, multiplicación, división, etc., se pueden derivar usando transformaciones. Por ejemplo, la resta de p-box A - B se puede definir como A + (- B ), donde el negativo de un p-box B = [ B ₁ , B ₂ ] es [ B ₂ (- x ), B ₁ ( - x )].

Expresiones lógicas

Las expresiones lógicas o booleanas que involucran conjunciones ( operaciones AND ), disyunciones ( operaciones OR ), disyunciones exclusivas, equivalencias, condicionales, etc. surgen en el análisis de árboles de fallas y árboles de eventos comunes en las evaluaciones de riesgo. Si las probabilidades de eventos se caracterizan por intervalos, como sugieren Boole ^[1] y Keynes ^[3], entre otros, estas operaciones binarias son sencillas de evaluar. Por ejemplo, si la probabilidad de un evento A está en el intervalo P (A) = a = [0.2, 0.25], y la probabilidad del evento B está en P (B) = b= [0.1, 0.3], entonces la probabilidad de la conjunción seguramente está en el intervalo

  P (A y B) = a × b

= [0.2, 0.25] × [0.1, 0.3]

= [0,2 × 0,1, 0,25 × 0,3]

= [0.02, 0.075]

siempre que se pueda suponer que A y B son eventos independientes. Si no son independientes, aún podemos unir la conjunción usando la desigualdad de Fréchet clásica . En este caso, podemos inferir al menos que la probabilidad del evento conjunto A y B está seguramente dentro del intervalo

  P (A y B) = env (max (0, a + b −1), min ( a , b ))

= env (max (0, [0.2, 0.25] + [0.1, 0.3] −1), min ([0.2, 0.25], [0.1, 0.3]))

= env ([max (0, 0.2 + 0.1–1), max (0, 0.25 + 0.3–1)], [min (0.2,0.1), min (0.25, 0.3)])

= env ([0,0], [0,1, 0,25])

= [0, 0,25]

donde env ([ x ₁ , x ₂ ], [ y ₁ , y ₂ ]) es [min ( x ₁ , y ₁ ), max ( x ₂ , y ₂ )]. Asimismo, la probabilidad de la disyunción seguramente está en el intervalo

  P (UNA v B) = una + segundo - una × segundo = 1 - (1 - una ) × (1 - segundo )

= 1 - (1 - [0.2, 0.25]) × (1 - [0.1, 0.3])

= 1 - [0,75, 0,8] × [0,7, 0,9]

= 1 - [0.525, 0.72]

= [0.28, 0.475]

si A y B son eventos independientes. Si no son independientes, la desigualdad de Fréchet limita la disyunción

  P (A v B) = env (max ( a , b ), min (1, a + b ))

= env (máx ([0.2, 0.25], [0.1, 0.3]), min (1, [0.2, 0.25] + [0.1, 0.3]))

= env ([0.2, 0.3], [0.3, 0.55])

= [0,2, 0,55].

También es posible calcular límites de intervalo en la conjunción o disyunción bajo otros supuestos sobre la dependencia entre A y B. Por ejemplo, se podría suponer que son positivamente dependientes, en cuyo caso el intervalo resultante no es tan ajustado como la respuesta asumiendo independencia. pero más estricta que la respuesta dada por la desigualdad de Fréchet. Se utilizan cálculos comparables para otras funciones lógicas como negación, disyunción exclusiva, etc. Cuando la expresión booleana que se va a evaluar se vuelve compleja, puede ser necesario evaluarla utilizando los métodos de programación matemática ^[2] para obtener los mejores límites posibles en la expresion. Un problema similar se presenta en el caso de la lógica probabilística(ver por ejemplo Gerla 1994). Si las probabilidades de los eventos se caracterizan por distribuciones de probabilidad o p-boxes en lugar de intervalos, entonces se pueden realizar cálculos análogos para obtener resultados de distribución o p-box que caractericen la probabilidad del evento superior.

Comparaciones de magnitud

La probabilidad de que un número incierto representado por un p-box D sea ​​menor que cero es el intervalo Pr ( D <0) = [ F (0), F̅ (0)], donde F̅ (0) es el límite izquierdo del el cuadro de probabilidad D y F (0) es su límite derecho, ambos evaluados en cero. A continuación, se pueden comparar dos números inciertos representados por casillas de probabilidad para determinar la magnitud numérica con las siguientes codificaciones:

A < B = Pr ( A - B <0),

A > B = Pr ( B - A <0),

A ≤ B = Pr ( A - B ≤ 0), y

A ≥ B = Pr ( B - A ≤ 0).

Por tanto, la probabilidad de que A sea ​​menor que B es la misma que la probabilidad de que su diferencia sea menor que cero, y se puede decir que esta probabilidad es el valor de la expresión A < B .

Al igual que las operaciones aritméticas y lógicas, estas comparaciones de magnitud generalmente dependen de la dependencia estocástica entre A y B , y la resta en la codificación debería reflejar esa dependencia. Si se desconoce su dependencia, la diferencia se puede calcular sin hacer ninguna suposición utilizando la operación de Fréchet.

Computación basada en muestreo

Algunos analistas ^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]} utilizan enfoques basados ​​en el muestreo para calcular los límites de probabilidad, incluida la simulación de Montecarlo , los métodos de hipercubo latino o el muestreo por importancia . Estos enfoques no pueden asegurar el rigor matemático en el resultado porque tales métodos de simulación son aproximaciones, aunque su desempeño generalmente se puede mejorar simplemente aumentando el número de repeticiones en la simulación. Por lo tanto, a diferencia de los teoremas analíticos o los métodos basados ​​en la programación matemática, los cálculos basados ​​en muestras generalmente no pueden producir cálculos verificados.. Sin embargo, los métodos basados ​​en muestreo pueden ser muy útiles para abordar una variedad de problemas que son computacionalmente difíciles de resolver analíticamente o incluso de resolver rigurosamente. Un ejemplo importante es el uso de muestreo desviado de Cauchy para evitar la maldición de la dimensionalidad al propagar la incertidumbre de intervalo a través de problemas de alta dimensión. ^[21]

Relación con otros enfoques de propagación de la incertidumbre

PBA pertenece a una clase de métodos que utilizan probabilidades imprecisas para representar simultáneamente incertidumbres aleatorias y epistémicas . PBA es una generalización tanto del análisis de intervalo como de la convolución probabilística , como se implementa comúnmente con la simulación de Monte Carlo . La PBA también está estrechamente relacionada con el análisis robusto de Bayes , que a veces se denomina análisis de sensibilidad bayesiano . PBA es una alternativa a la simulación Monte Carlo de segundo orden .

Aplicaciones

El análisis de cajas P y límites de probabilidad se ha utilizado en muchas aplicaciones que abarcan muchas disciplinas en ingeniería y ciencias ambientales, que incluyen:

• Diseño de ingeniería ^[22]
• Solicitud de expertos ^[23]
• Análisis de las distribuciones de sensibilidad de las especies ^[24]
• Análisis de sensibilidad en ingeniería aeroespacial de la carga de pandeo del faldón delantero del lanzador Ariane 5 ^[25]
• Modelos ODE de dinámica de reactores químicos ^{[26] [27]}
• Variabilidad farmacocinética de los COV inhalados ^[28]
• Modelización de aguas subterráneas ^[29]
• Probabilidad de fallo límite para sistemas en serie ^[30]
• Contaminación por metales pesados ​​en el suelo de una zona industrial abandonada de una fábrica de hierro ^{[31] [32]}
• Propagación de la incertidumbre para los modelos de riesgo de salinidad ^[33]
• Evaluación de la seguridad del sistema de suministro de energía ^[34]
• Evaluación del riesgo de tierras contaminadas ^[35]
• Sistemas de ingeniería para el tratamiento del agua potable ^[36]
• Cálculo de los niveles de cribado del suelo ^[37]
• Análisis de riesgo ecológico y para la salud humana realizado por la EPA de los Estados Unidos de la contaminación por PCB en el sitio del Superfund del río Housatonic ^{[38] [39]}
• Evaluación ambiental para el sitio del superfondo del estuario de Calcasieu ^[40]
• Ingeniería aeroespacial para empuje de toberas supersónicas ^[41]
• Verificación y validación en computación científica para problemas de ingeniería ^[42]
• Toxicidad para los pequeños mamíferos de la contaminación ambiental por mercurio ^[43]
• Modelización del tiempo de viaje de la contaminación en las aguas subterráneas ^[44]
• Análisis de fiabilidad ^[45]
• Evaluación de especies en peligro de extinción para la reintroducción de la zarigüeya de Leadbeater ^[46]
• Exposición de aves insectívoras a un plaguicida agrícola ^[47]
• Proyecciones de cambio climático ^{[31] [48] [49]}
• Tiempo de espera en los sistemas de colas ^[50]
• Análisis del riesgo de extinción del búho manchado en la Península Olímpica ^[51]
• Bioseguridad contra la introducción de especies invasoras o plagas agrícolas ^[52]
• Análisis estructural de elementos finitos ^{[53] [54] [55]}
• Estimaciones de costos ^[56]
• Certificación de existencias nucleares ^[57]
• Riesgos de la fracturación hidráulica a la contaminación del agua ^[58]

Ver también

• Cuadro de probabilidad
• Análisis robusto de Bayes
• Probabilidad imprecisa
• Simulación de Monte Carlo de segundo orden
• simulación del Monte Carlo
• Análisis de intervalo
• Teoría de probabilidad
• Análisis de riesgo

Referencias

1. Boole, George (1854). Una investigación de las leyes del pensamiento en las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades . Londres: Walton y Maberly.
2. Hailperin, Theodore (1986). Lógica y probabilidad de Boole . Amsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-11037-4.
3. Kyburg, HE, Jr. (1999). Probabilidades valoradas en intervalos . Documentación de SIPTA sobre probabilidad imprecisa.
4. Walley, Peter (1991). Razonamiento estadístico con probabilidades imprecisas . Londres: Chapman y Hall. ISBN 978-0-412-28660-5.
5. Yager, RR (1986). Operaciones aritméticas y de otro tipo en estructuras Dempster-Shafer. Revista internacional de estudios hombre-máquina 25 : 357–366.
6. Makarov, GD (1981). Estimaciones de la función de distribución de una suma de dos variables aleatorias cuando las distribuciones marginales son fijas. Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones 26 : 803–806.
7. Rüschendorf, L. (1982). Variables aleatorias con sumas máximas. Avances en probabilidad aplicada 14 : 623–632.
8. Frank, MJ, RB Nelsen y B. Schweizer (1987). Los mejores límites posibles para la distribución de una suma: un problema de Kolmogorov. Teoría de la probabilidad y campos relacionados 74 : 199–211.
9. Williamson, RC y T. Downs (1990). Aritmética probabilística I: métodos numéricos para calcular convoluciones y límites de dependencia. Revista Internacional de Razonamiento Aproximado 4 : 89-158.
10. Ferson, S., V. Kreinovich, L. Ginzburg, DS Myers y K. Sentz. (2003). Construcción de cajas de probabilidad y estructuras Dempster-Shafer Archivado el 22 de julio de 2011 en Wayback Machine . SAND2002-4015. Laboratorios Nacionales Sandia, Albuquerque, NM.
11. Berleant, D. (1993). Razonamiento verificado automáticamente con intervalos y funciones de densidad de probabilidad. Interval Computations 1993 (2) : 48–70.
12. Berleant, D., G. Anderson y C. Goodman-Strauss (2008). Aritmética en familias acotadas de distribuciones: un tutorial de algoritmo DEnv. Páginas 183–210 en Procesamiento del conocimiento con Intervalos y Soft Computing , editado por C. Hu, RB Kearfott, A. de Korvin y V. Kreinovich, Springer ( ISBN 978-1-84800-325-5 ). 
13. Berleant, D. y C. Goodman-Strauss (1998). Delimitar los resultados de las operaciones aritméticas sobre variables aleatorias de dependencia desconocida mediante intervalos. Computación confiable 4 : 147-165.
14. Ferson, S., R. Nelsen, J. Hajagos, D. Berleant, J. Zhang, WT Tucker, L. Ginzburg y WL Oberkampf (2004). Dependencia en el modelado probabilístico, la teoría de Dempster-Shafer y el análisis de límites de probabilidad . Laboratorios Nacionales Sandia, SAND2004-3072, Albuquerque, NM.
15. Alvarez, DA, 2006. Sobre el cálculo de los límites de probabilidad de eventos usando infinitos conjuntos aleatorios. Revista Internacional de Razonamiento Aproximado 43 : 241-267.
16. Baraldi, P., Popescu, IC, Zio, E., 2008. Predecir el tiempo de falla de un componente que se degrada aleatoriamente mediante un método híbrido de Monte Carlo y posibilista. IEEE Proc. Congreso Internacional de Pronósticos y Gestión Sanitaria .
17. Batarseh, OG, Wang, Y., 2008. Simulación confiable con incertidumbres de entrada utilizando un enfoque basado en intervalos. IEEE Proc. Conferencia de simulación de invierno .
18. Roy, Christopher J. y Michael S. Balch (2012). Un enfoque holístico de la cuantificación de la incertidumbre con aplicación al empuje de la boquilla supersónica. International Journal for Uncertainty Quantification 2 (4): 363–81 doi : 10.1615 / Int.J.UncertaintyQuantification.2012003562 .
19. Zhang, H., Mullen, RL, Muhanna, RL (2010). Métodos de Intervalo de Monte Carlo para la confiabilidad estructural. Seguridad estructural 32 : 183-190.
20. Zhang, H., Dai, H., Beer, M., Wang, W. (2012). Análisis de fiabilidad estructural sobre la base de pequeñas muestras: un método de intervalo cuasi-Monte Carlo. Sistemas mecánicos y procesamiento de señales 37 (1–2): 137–51 doi : 10.1016 / j.ymssp.2012.03.001 .
21. Trejo, R., Kreinovich, V. (2001). Estimaciones de errores para medidas indirectas: algoritmos aleatorios frente a deterministas para programas de "caja negra" . Manual de computación aleatoria , S. Rajasekaran, P. Pardalos, J. Reif y J. Rolim (eds.), Kluwer, 673–729.
22. Aughenbaugh, JM y CJJ Paredis (2007). Análisis de límites de probabilidad como enfoque general del análisis de sensibilidad en la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. Archivado el 21 de marzo de 2012 en la Wayback Machine . SAE 2007 Transactions Journal of Passenger Cars: Mechanical Systems, (Sección 6) 116 : 1325–1339, SAE International, Warrendale, Pennsylvania.
23. Flander, L., W. Dixon, M. McBride y M. Burgman. (2012). Juicio experto facilitado de riesgos ambientales: adquisición y análisis de datos imprecisos. Revista Internacional de Evaluación y Gestión de Riesgos 16 : 199–212.
24. Dixon, WJ (2007). El uso del análisis de límites de probabilidad para caracterizar y propagar la incertidumbre en las distribuciones de sensibilidad de las especies . Serie de Informes Técnicos No. 163 , Instituto Arthur Rylah de Investigaciones Ambientales, Departamento de Sostenibilidad y Medio Ambiente. Heidelberg, Victoria, Australia.
25. Oberguggenberger, M., J. King y B. Schmelzer (2007). Métodos de probabilidad imprecisos para el análisis de sensibilidad en ingeniería . Actas del 5º Simposio Internacional sobre Probabilidad Imprecisa: Teorías y Aplicaciones , Praga, República Checa.
26. Enszer, JA, Y. Lin, S. Ferson, GF Corliss y MA Stadtherr (2011). Análisis de límites de probabilidad para modelos de procesos dinámicos no lineales. AIChE Journal 57 : 404–422.
27. Enszer, Joshua Alan, (2010). Análisis de probabilidad verificada para sistemas dinámicos no lineales. Disertación, Universidad de Notre Dame.
28. Nong, A. y K. Krishnan (2007). Estimación del factor de variabilidad farmacocinética interindividual para sustancias químicas orgánicas volátiles inhaladas utilizando un enfoque de límites de probabilidad. Toxicología y farmacología reglamentarias 48 : 93–101.
29. Guyonnet, D., F. Blanchard, C. Harpet, Y. Ménard, B. Côme y C. Baudrit (2005). Projet IREA — Traitement des incertitudes en évaluation des risques d'exposition, Anexo B, Cas «Eaux souterraines». Rapport BRGM / RP-54099-FR, Bureau de Recherches Géologiques et Minières, Francia. Archivado el 11 de marzo de 2012 en la Wayback Machine.
30. Fetz, Thomas; Tonon, Fulvio (2008). "Límites de probabilidad para sistemas en serie con variables restringidas por conjuntos de medidas de probabilidad". Revista Internacional de Confiabilidad y Seguridad . 2 (4): 309. doi : 10.1504 / IJRS.2008.022079 .
31. Augustsson, A., M. Filipsson, T. Öberg, B. Bergbäck (2011). Cambio climático: un factor de incertidumbre en el análisis de riesgo de tierras contaminadas. Science of the Total Environment 409 : 4693–4700.
32. Baudrit, C., D. Guyonnet, H. Baroudi, S. Denys y P. Begassat (2005). Evaluación de la exposición de los niños al plomo en una planta industrial abandonada: análisis de incertidumbre . 9ª Conferencia Internacional FZK / TNO sobre suelos contaminados - ConSoil2005, Burdeos, Francia , páginas 1071–1080.
33. Dixon, WJ (2007). Propagación de la incertidumbre en modelos de riesgo de salinidad a nivel de población . Informe técnico Serie de informes técnicos No. 164 , Instituto Arthur Rylah de Investigación Ambiental. Heidelberg, Victoria, Australia
34. Karanki, DR, HS Kushwaha, AK Verma y S. Ajit. (2009). Análisis de incertidumbre basado en el enfoque de límites de probabilidad (p-box) en la evaluación probabilística de seguridad. Análisis de riesgo 29 : 662–75.
35. Sander, P., B. Bergbäck y T. Öberg (2006). Números inciertos e incertidumbre en la selección de distribuciones de entrada: consecuencias para una evaluación probabilística del riesgo de tierras contaminadas. Análisis de riesgos 26 : 1363-1375.
36. Minnery, JG, JG Jacangelo, LI Boden, DJ Vorhees y W. Heiger-Bernays (2009). Análisis de sensibilidad de la prueba de integridad directa basada en presión para membranas utilizadas en el tratamiento de agua potable. Ciencia y tecnología ambientales 43 (24): 9419–9424.
37. Regan, HM, BE Sample y S. Ferson (2002). Comparación de cálculo determinista y probabilístico de niveles de cribado de suelos ecológicos. Toxicología y química ambiental 21: 882–890.
38. Agencia de Protección Ambiental de EE. UU. (Región I), Sitio de GE / Housatonic River en Nueva Inglaterra
39. Moore, Dwayne RJ; Breton, Roger L .; Delong, Tod R .; Ferson, Scott; Lortie, John P .; MacDonald, Drew B .; McGrath, Richard; Pawlisz, Andrzej; Svirsky, Susan C .; Teed, R. Scott; Thompson, Ryan P .; Whitfield Aslund, Melissa (2016). "Evaluación de riesgos ecológicos para el visón y la musaraña de cola corta expuestos a PCBS, dioxinas y furanos en el área del río Housatonic". Evaluación y Gestión Ambiental Integrada . 12 (1): 174-184. doi : 10.1002 / ieam.1661 . PMID 25976918 . 
40. Agencia de Protección Ambiental de EE. UU. (Programa Superfund de la Región 6), Investigación de Remediación del Estuario de Calcasieu Archivado el 20 de enero de 2011 en Wayback Machine.
41. Roy, CJ y MS Balch (2012). Un enfoque holístico de la cuantificación de la incertidumbre con aplicación al empuje de la boquilla supersónica . Revista internacional de cuantificación de incertidumbre 2 : 363-381. doi : 10.1615 / Int.J.UncertaintyQuantification.2012003562 .
42. Oberkampf, WL y CJ Roy. (2010). Verificación y Validación en Computación Científica . Prensa de la Universidad de Cambridge.
43. Regan, HM, BK Hope y S. Ferson (2002). Análisis y representación de la incertidumbre en un modelo de exposición de la red alimentaria. Evaluación de riesgos humanos y ecológicos 8 : 1757-1777.
44. Ferson, S. y WT Tucker (2004). Fiabilidad de los análisis de riesgos para aguas subterráneas contaminadas. Modelización y gestión de la calidad del agua subterránea bajo incertidumbre , editado por S. Mishra, Sociedad Estadounidense de Ingenieros Civiles Reston, VA.
45. Crespo, Luis G .; Kenny, Sean P .; Giesy, Daniel P. (2013). "Análisis de confiabilidad de sistemas polinomiales sujetos a incertidumbres de p-box". Sistemas mecánicos y procesamiento de señales . 37 (1-2): 121-136. Código bibliográfico : 2013MSSP ... 37..121C . doi : 10.1016 / j.ymssp.2012.08.012 .
46. Ferson, S. y M. Burgman (1995). Correlaciones, límites de dependencia y riesgos de extinción . Conservación biológica 73 : 101-105.
47. Ferson, S., DRJ Moore, PJ Van den Brink, TL Estes, K. Gallagher, R. O'Connor y F. Verdonck. (2010). Análisis de incertidumbre delimitada. Páginas 89-122 en Application of Uncertainty Analysis to Ecological Risks of Pesticides , editado por WJ Warren-Hicks y A. Hart. CRC Press, Boca Raton, Florida.
48. Kriegler, E. y H. Held (2005). Utilizar funciones de creencias para la estimación del cambio climático futuro . Revista Internacional de Razonamiento Aproximado 39 : 185-209.
49. Kriegler, E. (2005). Análisis de probabilidad impreciso para la evaluación integrada del cambio climático , Ph.D. disertación, Universität Potsdam, Alemania.
50. Batarseh, OGY, (2010). Un enfoque basado en intervalos para modelar la incertidumbre de entrada en la simulación de eventos discretos . Doctor. disertación, Universidad de Florida Central.
51. Goldwasser, L., L. Ginzburg y S. Ferson (2000). Variabilidad y error de medición en el análisis del riesgo de extinción: el búho manchado del norte en la Península Olímpica. Páginas 169–187 en Métodos cuantitativos para la biología de la conservación , editado por S. Ferson y M. Burgman, Springer-Verlag, Nueva York.
52. Hayes, KR (2011). Incertidumbre y métodos de análisis de incertidumbre: problemas en la modelización de riesgos cuantitativos y cualitativos con aplicación a la evaluación de riesgos de importación proyecto ACERA (0705) . Número de informe: EP102467, CSIRO , Hobart, Australia.
53. Zhang, H., RL Mullen y RL Muhanna (2010). Análisis estructural de elementos finitos utilizando probabilidades imprecisas basadas en la representación p-box . Actas del 4º Taller Internacional sobre Computación de Ingeniería Confiable (REC 2010).
54. Zhang, H., R. Mullen, R. Muhanna (2012). Análisis estructural de seguridad con cajas de probabilidad .Revista Internacional de Confiabilidad y Seguridad 6 : 110-129.
55. Patelli, E; de Angelis, M (2015). "Enfoque de muestreo de línea para el análisis de casos extremos en presencia de incertidumbres aleatoria y epistémica". Seguridad y confiabilidad de sistemas de ingeniería complejos . págs. 2585-2593. doi : 10.1201 / b19094-339 . ISBN 978-1-138-02879-1.
56. Mehl, Christopher H. (2013). "P-boxes para análisis de incertidumbre de costes". Sistemas mecánicos y procesamiento de señales . 37 (1–2): 253–263. Código Bibliográfico : 2013MSSP ... 37..253M . doi : 10.1016 / j.ymssp.2012.03.014 .
57. Sentz, K. y S. Ferson (2011). Análisis de delimitación probabilístico en la cuantificación de márgenes e incertidumbres. Ingeniería de confiabilidad y seguridad del sistema 96 : 1126–1136.
58. Rozell, Daniel J. y Sheldon J. Reaven (2012). Riesgo de contaminación del agua asociado con la extracción de gas natural de Marcellus Shale. Análisis de riesgos 32 : 1382-1393.

Más referencias

• Bernardini, Alberto; Tonon, Fulvio (2010). Limitar la incertidumbre en la ingeniería civil: antecedentes teóricos . Berlín: Springer. ISBN 978-3-642-11189-1.
• Ferson, Scott (2002). Software RAMAS Risk Calc 4.0: Evaluación de riesgos con números inciertos . Boca Raton, Florida: Lewis Publishers. ISBN 978-1-56670-576-9.
• Gerla, G. (1994). "Inferencias en lógica de probabilidad". Inteligencia artificial . 70 (1–2): 33–52. doi : 10.1016 / 0004-3702 (94) 90102-3 .
• Oberkampf, William L .; Roy, Christopher J. (2010). Verificación y Validación en Computación Científica . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11360-1.

Enlaces externos

• Análisis de límites de probabilidad en evaluaciones de riesgos ambientales
• Intervalos y distribuciones de probabilidad
• Proyecto de incertidumbre epistémica
• La sociedad para la probabilidad imprecisa: teorías y aplicaciones