En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , el producto de fibra de esquemas es una construcción fundamental. Tiene muchas interpretaciones y casos especiales. Por ejemplo, el producto de fibra describe cómo una variedad algebraica sobre un campo determina una variedad sobre un campo más grande, o el retroceso de una familia de variedades, o una fibra de una familia de variedades. El cambio de base es una noción estrechamente relacionada.
La categoría de esquemas es un escenario amplio para la geometría algebraica. Una filosofía fructífera (conocida como el punto de vista relativo de Grothendieck ) es que gran parte de la geometría algebraica debe desarrollarse para un morfismo de esquemas X → Y (llamado esquema X sobre Y ), en lugar de un solo esquema X. Por ejemplo, en lugar de simplemente estudiar curvas algebraicas , se pueden estudiar familias de curvas sobre cualquier esquema base Y. De hecho, los dos enfoques se enriquecen mutuamente.
En particular, un esquema sobre un anillo conmutativo R significa un esquema X junto con un morfismo X → Spec ( R ). La noción más antigua de una variedad algebraica sobre un campo k es equivalente a un esquema sobre k con ciertas propiedades. (Existen diferentes convenciones sobre exactamente qué esquemas deben llamarse "variedades". Una opción estándar es que una variedad sobre un campo k significa un esquema integral separado de tipo finito sobre k . [1] )
En general, un morfismo de esquemas X → Y se puede imaginar como una familia de esquemas parametrizados por los puntos de Y. Dado un morfismo de algún otro esquema Z a Y , debería haber una familia de esquemas de "retroceso" sobre Z . Este es exactamente el producto de fibra X × Y Z → Z .
Formalmente: es una propiedad útil de la categoría de esquemas que el producto de fibra siempre existe. [2] Es decir, para cualquier morfismo de los esquemas X → Y y Z → Y , existe un esquema X × Y Z con morfismos a X y Z , lo que hace que el diagrama
conmutativo , y que es universal con esa propiedad. Es decir, para cualquier esquema W con morfismos en X y Z cuyas composiciones en Y sean iguales, existe un único morfismo de W en X × Y Z que hace que el diagrama conmute. Como siempre con las propiedades universales, esta condición determina el esquema X × Y Z hasta un único isomorfismo, si existe. La prueba de que los productos de fibra de los esquemas siempre existen reduce el problema al producto tensorial de los anillos conmutativos (cf. esquemas de encolado). En particular, cuando X , Y y Z son todos esquemas afines , entonces X = Spec( A ), Y = Spec( B ) y Z = Spec( C ) para algunos anillos conmutativos A , B , C , el producto de fibra es el esquema afín