En geometría algebraica , un morfismo finito entre dos variedades afines es un mapa regular denso que induce la inclusión isomorfaentre sus anillos de coordenadas , de modo quees integral sobre . [1] Esta definición puede extenderse a las variedades cuasi-proyectivas , de modo que un mapa regular entre variedades cuasiproyectivas es finito si cualquier punto como tiene un vecindario afín V tal que es afín y es un mapa finito (a la vista de la definición anterior, porque es entre variedades afines). [2]
Definición por esquemas
Un morfismo f : X → Y de esquemas es un morfismo finito si Y tiene una cubierta abierta por esquemas afines
tal que para cada i ,
es un subesquema afín abierto Spec A i , y la restricción de f a U i , que induce un homomorfismo de anillo
hace que A i sea un módulo finitamente generado sobre B i . [3] Se dice también que X es finito sobre Y .
De hecho, f es finito si y solo si para cada subesquema abierto afín abierto V = Espec. B en Y , la imagen inversa de V en X es afín, de la forma Espec. A , con A un módulo B generado finitamente . [4]
Por ejemplo, para cualquier campo k , es un morfismo finito ya que como -módulos. Geométricamente, esto es obviamente finito, ya que se trata de una cubierta de n hojas ramificadas de la línea afín que degenera en el origen. Por el contrario, la inclusión de A 1 - 0 en A 1 no es finita. (De hecho, el anillo polinomial de Laurent k [ y , y −1 ] no se genera finitamente como un módulo sobre k [ y ].) Esto restringe nuestra intuición geométrica a familias sobreyectivas con fibras finitas.
Propiedades de los morfismos finitos
- La composición de dos morfismos finitos es finita.
- Cualquier cambio de base de un morfismo finito f : X → Y es finito. Es decir, si g : Z → Y es cualquier morfismo de esquemas, entonces el morfismo resultante X × Y Z → Z es finito. Esto corresponde al siguiente enunciado algebraico: si A y C son álgebras B (conmutativas) , y A se genera finitamente como un módulo B , entonces el producto tensorial A ⊗ B C se genera de manera finita como un módulo C. De hecho, los generadores pueden tomarse como los elementos a i ⊗ 1, donde a i son los generadores dados de A como un módulo B.
- Las inmersiones cerradas son finitas, ya que están dadas localmente por A → A / I , donde I es el ideal correspondiente al subesquema cerrado.
- Los morfismos finitos son cerrados, por lo tanto (debido a su estabilidad bajo el cambio de base) son adecuados . [5] Esto se sigue del teorema ascendente de Cohen-Seidenberg en álgebra conmutativa.
- Los morfismos finitos tienen fibras finitas (es decir, son cuasi-finitas ). [6] Esto se sigue del hecho de que para un campo k , cada k -álgebra finita es un anillo artiniano . Una afirmación relacionada es que para un morfismo sobreyectivo finito f : X → Y , X e Y tienen la misma dimensión .
- Según Deligne , un morfismo de esquemas es finito si y solo si es apropiado y cuasi-finito. [7] Esto había sido demostrado por Grothendieck si el morfismo f : X → Y es localmente de presentación finita , lo que se sigue de los otros supuestos si Y es noetheriano . [8]
- Los morfismos finitos son proyectivos y afines . [9]
Morfismos de tipo finito
Para un homomorfismo A → B de anillos conmutativos, B se denomina A -algebra de tipo finito si B es un finitamente generado como un A -algebra. Es mucho más fuerte que B sea un A- álgebra finita , lo que significa que B se genera finitamente como un A- módulo. Por ejemplo, para cualquier anillo conmutativo A y número natural n , el anillo polinomial A [ x 1 , ..., x n ] es un álgebra A de tipo finito, pero no es un módulo A finito a menos que A = 0 o n = 0. Otro ejemplo de un morfismo de tipo finito que no es finito es.
La noción análoga en términos de esquemas es: un morfismo f : X → Y de esquemas es de tipo finito si Y tiene una cobertura por subesquemas abiertos afines V i = Spec A i tal que f −1 ( V i ) tiene una cobertura finita por subesquemas abiertos afines U ij = Spec B ij con B ij un A i -algebra de tipo finito. También se dice que X es de tipo finito sobre Y .
Por ejemplo, para cualquier número natural n y campo k , el espacio n afín y el espacio n proyectivo sobre k son de tipo finito sobre k (es decir, sobre Spec k ), mientras que no son finitos sobre k a menos que n = 0. De manera más general, cualquier esquema cuasi-proyectivo sobre k es de tipo finito sobre k .
El lema normalización Noether dice, en términos geométricos, que cada esquema afín X de tipo finito sobre un campo k tiene un morfismo sobreyectiva finito a espacio afín A n sobre k , donde n es la dimensión de X . Del mismo modo, cada esquema proyectiva X sobre un campo tiene un morfismo sobreyectiva finito a proyectiva espacio P n , donde n es la dimensión de X .
Ver también
Notas
- ↑ Shafarevich , 2013 , p. 60, Def. 1.1.
- ↑ Shafarevich , 2013 , p. 62, Def. 1.2.
- ^ Hartshorne 1977 , sección II.3.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01WG.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01WG.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01WG.
- ^ Grothendieck, EGA IV, Parte 4, Corollaire 18.12.4.
- ^ Grothendieck, EGA IV, Parte 3, Théorème 8.11.1.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01WG.
Referencias
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255. doi : 10.1007 / bf02684343 . Señor 0217086 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5-361. doi : 10.1007 / bf02732123 . Señor 0238860 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Shafarevich, Igor R. (2013). Geometría algebraica básica 1 . Springer Science . ISBN 978-0-387-97716-4.
enlaces externos
- Autores del proyecto Stacks, Proyecto Stacks