En matemáticas , el anillo de funciones polinomiales en un espacio vectorial V sobre un campo k da un análogo sin coordenadas de un anillo polinomial . Se denota por k [ V ]. Si V es de dimensión finita y es vista como una variedad algebraica , entonces k [ V ] es precisamente el anillo de coordenadas de V .
La definición explícita del anillo se puede dar de la siguiente manera. Si es un anillo polinomial, entonces podemos ver como funciones de coordenadas en ; es decir, Cuándo Esto sugiere la siguiente: dado un espacio vectorial V , deja k [ V ] ser el conmutativa k -algebra generada por el espacio dual , que es un subanillo del anillo de todas las funciones . Si fijamos una base para V y escribimospor su base dual, entonces k [ V ] consta de polinomios en.
Si k es infinito, entonces k [ V ] es el álgebra simétrica del espacio dual.
En las aplicaciones, también se define k [ V ] cuando V se define sobre algún subcampo de k (por ejemplo, k es el campo complejo y V es un espacio vectorial real ). La misma definición todavía se aplica.
En todo el artículo, por simplicidad, se supone que el campo base k es infinito.
Relación con anillo polinomial
Dejar sea el conjunto de todos los polinomios sobre un campo K y B el conjunto de todas las funciones polinómicas en una variable sobre K . Tanto A como B son álgebras sobre K dadas por la multiplicación y adición estándar de polinomios y funciones. Podemos mapear cada unoen A aen B por la regla. Una comprobación de rutina muestra que el mapeoes un homomorfismo de las álgebras A y B . Este homomorfismo es un isomorfismo si y solo si K es un campo infinito. Por ejemplo, si K es un campo finito, dejemos. p es un polinomio distinto de cero en K [ x ], sin embargopara todo t en K , entonces es la función cero y nuestro homomorfismo no es un isomorfismo (y, en realidad, las álgebras no son isomorfas, ya que el álgebra de polinomios es infinito mientras que el de funciones polinomiales es finito).
Si K es infinito, elija un polinomio f tal que. Queremos mostrar que esto implica que. Dejar y deja ser n 1 elementos distintos de K . Luego por y por interpolación de Lagrange tenemos. De ahí el mapeoes inyectable . Desde este mapeo es claramente sobreyectiva , es biyectiva y por lo tanto un isomorfismo álgebra de A y B .
Mapas simétricos multilineales
Sea k un campo infinito de característica cero (o al menos muy grande) y V un espacio vectorial de dimensión finita.
Dejar denotar el espacio vectorial de funcionales multilineales que son simétricos; es el mismo para todas las permutaciones de 's.
Cualquier λ en da lugar a una función polinomial homogénea f de grado q : simplemente dejamosPara ver que f es una función polinomial, elija una basede V yes dual. Luego
- ,
lo que implica que f es un polinomio en las t i .
Por tanto, existe un mapa lineal bien definido :
Demostramos que es un isomorfismo. Al elegir una base como antes, cualquier función polinomial homogénea f de grado q se puede escribir como:
dónde son simétricos en . Dejar
Claramente, es la identidad; en particular, φ es sobreyectiva. Para ver que φ es inyectivo, suponga que φ (λ) = 0. Considere
- ,
que es cero. El coeficiente de t 1 t 2 … t q en la expresión anterior es q ! veces λ ( v 1 ,…, v q ); de ello se deduce que λ = 0.
Nota: φ es independiente de la elección de la base; por lo que la prueba anterior muestra que ψ también es independiente de una base, el hecho no es obvio a priori .
Ejemplo: Un funcional bilineal da lugar a una forma cuadrática de una manera única y cualquier forma cuadrática surge de esta manera.
Expansión de la serie Taylor
Dada una función suave , localmente, se puede obtener una derivada parcial de la función a partir de su expansión en serie de Taylor y, a la inversa, se puede recuperar la función a partir de la expansión en serie. Este hecho sigue siendo válido para funciones polinomiales en un espacio vectorial. Si f está en k [ V ], entonces escribimos: para x , y en V ,
donde g n (x, y) son homogéneos de grado n en y , y solo un número finito de ellos son distintos de cero. Entonces dejamos
resultando en el endomorfismo lineal P y de k [ V ]. Se llama operador de polarización. Entonces tenemos, como prometimos:
Teorema - Para cada f en k [V] y x , y en V ,
- .
Prueba: Primero notamos que ( P y f ) ( x ) es el coeficiente de t en f ( x + t y ); en otras palabras, dado que g 0 ( x , y ) = g 0 ( x , 0) = f ( x ),
donde el lado derecho es, por definición,
El teorema se sigue de esto. Por ejemplo, para n = 2, tenemos:
El caso general es similar.
Álgebra de productos del operador
Cuando los polinomios no se valoran sobre un campo k , sino sobre algo de álgebra, entonces se puede definir una estructura adicional. Así, por ejemplo, se puede considerar el anillo de funciones sobre GL (n, m) , en lugar de para k = GL (1, m) . [ aclaración necesaria ] En este caso, se puede imponer un axioma adicional.
El álgebra del producto operador es un álgebra asociativa de la forma
Las constantes de estructura deben ser funciones de un solo valor, en lugar de secciones de algún paquete de vectores . Los campos (u operadores)son necesarios para abarcar el anillo de funciones . En los cálculos prácticos, generalmente se requiere que las sumas sean analíticas dentro de algún radio de convergencia ; típicamente con un radio de convergencia de. Por tanto, el anillo de funciones puede tomarse como el anillo de funciones polinomiales.
Lo anterior puede considerarse un requisito adicional impuesto al anillo; a veces se le llama bootstrap . En física , un caso especial del álgebra del producto del operador se conoce como expansión del producto del operador .
Ver también
Notas
Referencias
- Kobayashi, S .; Nomizu, K. (1963), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 2 (nueva ed.), Wiley-Interscience (publicado en 2004).