El problema de la concentración espectral en el análisis de Fourier se refiere a encontrar una secuencia de tiempo de una longitud dada cuya transformada de Fourier discreta se localiza al máximo en un intervalo de frecuencia dado , medido por la concentración espectral.
Concentración espectral
La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) U ( f ) de una serie finita, Se define como
A continuación, el intervalo de muestreo se tomará como Δ t = 1 y, por lo tanto, el intervalo de frecuencia como f ∈ [-½, ½]. U ( f ) es una función periódica con un período 1.
Para una frecuencia dada W tal que 0 < W <½, la concentración espectralde U ( f ) en el intervalo [- W , W ] se define como la relación entre la potencia de U ( f ) contenida en la banda de frecuencia [- W , W ] y la potencia de U ( f ) contenida en toda la frecuencia banda [-½, ½]. Es decir,
Se puede demostrar que U ( f ) solo tiene ceros aislados y, por lo tanto,(ver [1]). Por lo tanto, la concentración espectral es estrictamente menor que uno y no existe una secuencia finitapara lo cual la DTFT se puede limitar a una banda [- W , W ] y hacer que desaparezca fuera de esta banda.
Planteamiento del problema
Entre todas las secuencias para un T y W dados , ¿existe una secuencia para la cual la concentración espectral sea máxima? En otras palabras, ¿existe una secuencia para la cual la energía de los lóbulos laterales fuera de una banda de frecuencia [- W , W ] sea mínima?
La respuesta es sí; de hecho, tal secuencia existe y se puede encontrar optimizando. Maximizando así el poder
sujeto a la restricción de que la potencia total es fija, digamos
conduce a la siguiente ecuación satisfecha por la secuencia óptima :
Esta es una ecuación de valor propio para una matriz simétrica dada por
Se puede demostrar que esta matriz es positiva-definida , por lo tanto, todos los valores propios de esta matriz se encuentran entre 0 y 1. El valor propio más grande de la ecuación anterior corresponde a la concentración espectral más grande posible; el vector propio correspondiente es la secuencia óptima requerida. Esta secuencia se llama un 0 º -order secuencia Slepian (también conocida como una secuencia esferoidal alargada discreta, o DPSS), que es un ahusamiento único con lóbulos laterales máximamente suprimidas.
Resulta que el número de autovalores dominantes de la matriz M que están cerca de 1, corresponde a N = 2WT llamado número de Shannon . Si los valores propios están dispuestos en orden decreciente (es decir, ), entonces el vector propio correspondiente a se llama secuencia n ésima de Slepian (DPSS) (0≤ n ≤ N -1). Este cono de n- ésimo orden también ofrece la mejor supresión de lóbulos laterales y es ortogonal por pares a las secuencias de Slepian de órdenes anteriores.. Estas secuencias de Slepian de orden inferior forman la base para la estimación espectral mediante el método multitaper .
No limitado a series de tiempo, el problema de concentración espectral se puede reformular para aplicar en la superficie de la esfera mediante el uso de armónicos esféricos , para aplicaciones en geofísica y cosmología entre otras.
Ver también
Referencias
- Partha Mitra y Hemant Bokil. Dinámica cerebral observada , Oxford University Press, EE. UU. (2007), Enlace al libro
- Donald. B. Percival y Andrew. T. Walden. Análisis espectral para aplicaciones físicas: técnicas univariadas convencionales y múltiples , Cambridge University Press, Reino Unido (2002).
- Partha Mitra y B. Pesaran, "Análisis de datos dinámicos de imágenes cerebrales". The Biophysical Journal, Volumen 76 (1999), 691-708, arxiv.org/abs/q-bio/0309028
- FJ Simons, MA Wieczorek y FA Dahlen. Concentración espacio-espectral en una esfera . Revisión de SIAM, 2006, doi : 10.1137 / S0036144504445765