Pseudoconvexidad

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En matemáticas , más precisamente en la teoría de funciones de varias variables complejas , un conjunto pseudoconvexo es un tipo especial de conjunto abierto en el espacio complejo n- dimensional C ⁿ . Los conjuntos pseudoconvexos son importantes, ya que permiten la clasificación de dominios de holomorfia .

ser un dominio, es decir, un subconjunto conectado abierto . Se dice que es pseudoconvexo (o pseudoconvexo de Hartogs ) si existe una función plurisubarmónica continua en tal que el conjunto ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle G}$

es un subconjunto relativamente compacto de para todos los números reales. En otras palabras, un dominio es pseudoconvexo si tiene una función de agotamiento plurisubarmónico continuo . Todo conjunto convexo (geométricamente) es pseudoconvexo. Sin embargo, existen dominios pseudoconvexos que no son geométricamente convexos.${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle x.}$${\ Displaystyle G}$

Cuando tiene un límite (dos veces continuamente diferenciable ) , esta noción es la misma que la de pseudoconvexidad de Levi, con la que es más fácil trabajar. Más específicamente, con un límite, se puede demostrar que tiene una función definitoria; es decir, que existe lo que es así , y . Ahora, ¿ es pseudoconvexo iff para todos y en el espacio tangente complejo en p, es decir, ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle C ^ {2}}$${\ Displaystyle C ^ {2}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ rho: \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle C ^ {2}}$${\displaystyle G=\{\rho <0\}}$${\displaystyle \partial G=\{\rho =0\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in \partial G}$${\displaystyle w}$

Si no tiene un límite, el siguiente resultado de aproximación puede ser útil. ${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{2}}$

Proposición 1 Si es pseudoconvexo, entonces existen dominios pseudoconvexos fuertemente limitados de Levi con límite ( suave ) que son relativamente compactos en , tal que${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{k}\subset G}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle G}$

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