En matemáticas , las funciones plurisubarmónicas (a veces abreviadas como funciones psh , plsh o plush ) forman una clase importante de funciones utilizadas en análisis complejos . En una variedad de Kähler , las funciones plurisubarmónicas forman un subconjunto de las funciones subarmónicas . Sin embargo, a diferencia de las funciones subarmónicas (que se definen en una variedad de Riemann ), las funciones plurisubarmónicas pueden definirse con total generalidad en espacios analíticos complejos .
Definicion formal
Una función
con dominio se llama plurisubarmónico si es semicontinuo superior , y para cada línea compleja
- con
la función es una función subarmónica en el conjunto
En total generalidad , la noción se puede definir en una variedad compleja arbitraria o incluso en un espacio analítico complejo. como sigue. Una función semicontinua superior
se dice que es plurisubarmónico si y solo si para cualquier mapa holomórfico la función
es subarmónico , donde denota la unidad de disco.
Funciones plurisubarmónicas diferenciables
Si es de clase (diferenciabilidad) , luego es plurisubarmónico si y solo si la matriz hermitiana , llamada matriz de Levi, con entradas
Equivalentemente, un -función f es plurisubarmónica si y solo sies una forma positiva (1,1) .
Ejemplos de
Relación con la variedad de Kähler: en el espacio euclidiano complejo n-dimensional , es plurisubarmónico. De echo,es igual a la forma estándar de Kähler enhasta múltiplos constantes. De manera más general, si satisface
para alguna forma de Kähler , luego es plurisubarmónico, que se denomina potencial de Kähler.
Relación con el delta de Dirac: en un espacio euclidiano complejo unidimensional , es plurisubarmónico. Sies una función de clase C ∞ con soporte compacto , entonces la fórmula integral de Cauchy dice
que se puede modificar para
- .
No es más que la medida de Dirac en el origen 0.
Más ejemplos
- Si es una función analítica en un conjunto abierto, entonces es plurisubarmónico en ese conjunto abierto.
- Las funciones convexas son plurisubarmónicas
- Si es un dominio de holomorfia entonces es plurisubarmónico
- Las funciones armónicas no son necesariamente plurisubarmónicas
Historia
Las funciones plurisubarmónicas fueron definidas en 1942 por Kiyoshi Oka [1] y Pierre Lelong . [2]
Propiedades
- El conjunto de funciones plurisubarmónicas tiene las siguientes propiedades como un cono convexo :
- Si es una función plurisubarmónica y un número real positivo, entonces la función es plurisubarmónico,
- Si y son funciones plurisubarmónicas, entonces la suma es una función plurisubarmónica.
- La plurisubarmonicidad es una propiedad local , es decir, una función es plurisubarmónica si y solo si es plurisubarmónica en una vecindad de cada punto.
- Si es plurisubarmónico y una función convexa monótonamente creciente entonces es plurisubarmónico.
- Si y son funciones plurisubarmónicas, entonces la función es plurisubarmónico.
- Si es una secuencia monótona decreciente de funciones plurisubarmónicas
luego es plurisubarmónico.
- Cada función plurisubarmónica continua se puede obtener como el límite de una secuencia monótonamente decreciente de funciones plurisubarmónicas suaves. Además, esta secuencia se puede elegir uniformemente convergente. [3]
- La desigualdad en la condición habitual de semicontinuidad se mantiene como igualdad, es decir, si es plurisubarmónico entonces
(ver límite superior y límite inferior para la definición de lim sup ).
- Las funciones plurisubarmónicas son subarmónicas , para cualquier métrica de Kähler .
- Por lo tanto, las funciones plurisubarmónicas satisfacen el principio máximo , es decir, sies plurisubarmónico en el dominio abierto conectado y
por algún momento luego es constante.
Aplicaciones
En el análisis complejo , las funciones plurisubarmónicas se utilizan para describir dominios pseudoconvexos , dominios de holomorfia y variedades de Stein .
Teorema de Oka
La principal aplicación geométrica de la teoría de las funciones plurisubarmónicas es el famoso teorema probado por Kiyoshi Oka en 1942. [1]
Una función continua se llama exhaustiva si la preimagen es compacto para todos . Una función plurisubarmónica f se llama fuertemente plurisubarmónica si la formaes positivo , para algunas formas de Kähler en M .
Teorema de Oka: Sea M una variedad compleja, que admite una función suave, exhaustiva y fuertemente plurisubarmónica. Entonces M es Stein . A la inversa, cualquier variedad de Stein admite tal función.
Referencias
- Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
- Robert C. Gunning . Introducción a las funciones holomórficas en varias variables, Wadsworth & Brooks / Cole.
- Klimek, Teoría pluripotencial, Clarendon Press 1992.
enlaces externos
- "Función plurisubarmónica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Notas
- ^ a b Oka, Kiyoshi (1942), "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. VI. Domaines pseudoconvexes", Tohoku Mathematical Journal , Primera Serie, 49 : 15–52, ISSN 0040-8735 , Zbl 0060.24006 nota: En el tratado, se denomina función pseudoconvexa, pero esto significa la función plurisubarmónica, que es el tema de esta página, no la función pseudoconvexa del análisis convexo.
- ^ P. Lelong, Definición de fonctions plurisousharmoniques, CR Acd. Sci. Paris 215 (1942), 398–400.
- ^ RE Greene y H. Wu,-aproximaciones de funciones convexas, subarmónicas y plurisubarmónicas , Ann. Scient. CE. Norma. Sorber. 12 (1979), 47–84.