Serie Puiseux
En matemáticas , las series de Puiseux son una generalización de las series de potencias que permiten exponentes negativos y fraccionarios de la indeterminación . Por ejemplo, la serie
es una serie de Puiseux en la x indeterminada . Las series de Puiseux fueron introducidas por primera vez por Isaac Newton en 1676 [1] y redescubiertas por Victor Puiseux en 1850. [2]
La definición de una serie de Puiseux incluye que los denominadores de los exponentes deben estar acotados. Entonces, al reducir los exponentes a un denominador común n , una serie de Puiseux se convierte en una serie de Laurent en una raíz enésima de la indeterminada. Por ejemplo, el ejemplo anterior es una serie de Laurent en Dado que un número complejo tiene raíces n -ésimas, una serie convergente de Puiseux normalmente define n funciones en una vecindad de 0 .
El teorema de Puiseux , a veces también llamado teorema de Newton-Puiseux , afirma que, dada una ecuación polinomial con coeficientes complejos, sus soluciones en y , vistas como funciones de x , pueden expandirse como series de Puiseux en x que son convergentes en alguna vecindad de 0 . En otras palabras, cada rama de una curva algebraica puede ser descrita localmente por una serie de Puiseux en x (o en x − x 0 cuando se consideran ramas por encima de una vecindad de x 0 ≠ 0 ).
Usando terminología moderna, el teorema de Puiseux afirma que el conjunto de la serie de Puiseux sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0 es en sí mismo un campo algebraicamente cerrado, llamado el campo de la serie de Puiseux . Es la clausura algebraica del campo de series formales de Laurent , que a su vez es el campo de fracciones del anillo de series formales de potencias .
Si K es un campo (como los números complejos ), una serie de Puiseux con coeficientes en K es una expresión de la forma
