En matemáticas , especialmente en el área de álgebra que estudia la teoría de grupos abelianos , un subgrupo puro es una generalización de sumando directo . Ha encontrado muchos usos en la teoría de grupos abelianos y áreas relacionadas.
Definición
Un subgrupo de un (típicamente abeliano ) grupo se dice que es puro si siempre que un elemento de tiene un arraigar en , necesariamente tiene un arraigar en . Formalmente:, la existencia de una x en G tal que la existencia de ay en S tal que . [1]
Orígenes
Los subgrupos puros también se denominan subgrupos aislados o subgrupos de servicio y se investigaron por primera vez en el artículo de Prüfer de 1923 [2] que describía las condiciones para la descomposición de grupos abelianos primarios como sumas directas de grupos cíclicos utilizando subgrupos puros. El trabajo de Prüfer fue complementado por Kulikoff [3] donde se probaron de nuevo muchos resultados utilizando subgrupos puros de forma sistemática. En particular, se demostró que los subgrupos puros de exponente finito son sumandos directos. En el pequeño libro rojo de Irving Kaplansky se ofrece una discusión más completa de los subgrupos puros, su relación con la teoría de los grupos abelianos infinitos y una revisión de su literatura . [4]
Ejemplos de
- Todo sumando directo de un grupo es un subgrupo puro
- Todo subgrupo puro de un subgrupo puro es puro.
- Un subgrupo divisible de un grupo abeliano es puro.
- Si el grupo del cociente está libre de torsión, el subgrupo es puro.
- El subgrupo de torsión de un grupo abeliano es puro.
- La unión de subgrupos puros es un subgrupo puro.
Dado que en un grupo abeliano generado finitamente el subgrupo de torsión es un sumando directo, uno podría preguntarse si el subgrupo de torsión es siempre un sumando directo de un grupo abeliano. Resulta que no siempre es un sumando, pero es un subgrupo puro. Bajo ciertas condiciones leves, los subgrupos puros son sumandos directos. Por lo tanto, todavía se puede recuperar el resultado deseado en esas condiciones, como en el artículo de Kulikoff. Los subgrupos puros se pueden utilizar como una propiedad intermedia entre un resultado en sumandos directos con condiciones de finitud y un resultado completo en sumandos directos con condiciones de finitud menos restrictivas. Otro ejemplo de este uso es el artículo de Prüfer, donde el hecho de que "los grupos abelianos de torsión finita son sumas directas de grupos cíclicos" se extiende al resultado de que "todos los grupos abelianos de torsión de exponente finito son sumas directas de grupos cíclicos" mediante una consideración intermedia de subgrupos puros.
Generalizaciones
Los subgrupos puros se generalizaron de varias formas en la teoría de los grupos y módulos abelianos. Los submódulos puros se definieron de diversas formas, pero finalmente se establecieron en la definición moderna en términos de productos tensoriales o sistemas de ecuaciones; Las definiciones anteriores eran generalmente generalizaciones más directas, como la ecuación única utilizada anteriormente para las raíces n. Los módulos puros inyectivos y puros proyectivos siguen de cerca las ideas del artículo de Prüfer de 1923. Si bien los módulos proyectivos puros no han encontrado tantas aplicaciones como los inyectivos puros, están más estrechamente relacionados con el trabajo original: un módulo es puramente proyectivo si es un suma directo de una suma directa de módulos presentados de manera finita. En el caso de los números enteros y los grupos abelianos, un módulo proyectivo puro equivale a una suma directa de grupos cíclicos.
Referencias
- ^ Fuchs, L (1970), Grupos abelianos infinitos, I , Matemáticas puras y aplicadas, Nueva York, Academic Press.
- ↑ Prüfer, H. (1923). "Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen" . Matemáticas. Z . 17 (1): 35–61. doi : 10.1007 / BF01504333 . Archivado desde el original el 27 de septiembre de 2007.
- ^ Kulikoff, L. (1941). "Zur Theorie der Abelschen Gruppen von beliebiger Mächtigkeit" . Rec. Matemáticas. Moscou . NS 9 : 165-181. Archivado desde el original el 27 de septiembre de 2007.
- ^ Kaplansky, Irving (1954). Grupos abelianos infinitos . Universidad de Michigan. ISBN 0-472-08500-X.
- Phillip A. Griffith (1970). Teoría del grupo infinito abeliano . Conferencias de Chicago en Matemáticas. Prensa de la Universidad de Chicago. págs. 9-16. ISBN 0-226-30870-7. Capítulo III.