En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de módulos , el concepto de submódulo puro proporciona una generalización del sumando directo , un tipo de parte de un módulo que se comporta particularmente bien . Los módulos puros son complementarios a los módulos planos y generalizan la noción de subgrupos puros de Prüfer . Mientras que los módulos planos son aquellos módulos que dejan secuencias exactas cortas exactas después de la tensión , un submódulo puro define una secuencia exacta corta que permanece exacta después de la tensión con cualquier módulo. De manera similar, un módulo plano es un límite directo de los módulos proyectivos., y un submódulo puro define una secuencia exacta corta que es un límite directo de secuencias exactas divididas , cada una definida por un sumando directo.
Definición
Deje que R sea un anillo (asociativo, con 1), y dejar que M y P sean módulos de más de R . Si i : P → M es inyectivo, entonces P es un submódulo puro de M si, para cualquier R -módulo X , el mapa inducido natural de los productos tensoriales i ⊗ id X : P ⊗ X → M ⊗ X es inyectivo.
Análogamente, una breve secuencia exacta
de R -modules es pura exacta si las estancias secuencia exacta cuando tensored con cualquier R -módulo X . Esto es equivalente a decir que f ( A ) es un submódulo pura de B .
La pureza también se puede expresar por elementos; es realmente una afirmación sobre la solubilidad de ciertos sistemas de ecuaciones lineales. Específicamente, P es puro en M si y solo si se cumple la siguiente condición: para cualquier matriz m -por- n ( a ij ) con entradas en R , y cualquier conjunto y 1 , ..., y m de elementos de P , si existen elementos x 1 , ..., x n en M tales que
entonces también existen elementos x 1 ′, ..., x n ′ en P tales que
Ejemplos de
- Cada sumando directo de M es puro en M . En consecuencia, cada subespacio de un espacio vectorial sobre un campo es puro.
- ( Lam y 1999, p.154 ) Suponer
es una breve secuencia exacta de módulos R , entonces:
- C es un módulo plano si y sólo si la secuencia exacta es puro exacta para cada A y B . De esto podemos deducir que en un anillo regular de von Neumann , cada submódulo de cada módulo R es puro. Esto se debe a que cada módulo sobre un anillo regular de von Neumann es plano. Lo contrario también es cierto. ( Lam y 1999, p.162 )
- Suponga que B es plano. Entonces la secuencia es puramente exacta si y solo si C es plano. De esto se puede deducir que los submódulos puros de módulos planos son planos.
- Suponga que C es plano. Entonces B es plano si y solo si A es plano.
Caracterización equivalente
Una secuencia es puramente exacta si y solo si es el colimit filtrado (también conocido como límite directo ) de las secuencias exactas divididas
Referencias
- ↑ Para los grupos abelianos, esto se demuestra en Fuchs (2015 , Ch.5, Thm. 3.4)
- Fuchs, László (2015), Abelian Groups , Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 9783319194226
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294