Extensión puramente inseparable

En álgebra, una extensión puramente inseparable de campos es una extensión k  ⊆  K de campos de la característica p  > 0 tal que cada elemento de K es una raíz de una ecuación de la forma x ^q  =  un , con q una potencia de p y una en k . Las extensiones puramente inseparables a veces se denominan extensiones radicales , que no deben confundirse con la noción de extensiones radicales, que suena similar, pero es más general .

Extensiones puramente inseparables

Una extensión algebraica ${\displaystyle E\supseteq F}$es una extensión puramente inseparable si y sólo si para cada${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$, el polinomio mínimo de ${\displaystyle \alpha }$sobre F no es un polinomio separable . ^[1] Si F es cualquier campo, la extensión trivial${\displaystyle F\supseteq F}$es puramente inseparable; Para que el campo F posea una extensión no trivial puramente inseparable, debe ser imperfecto como se describe en la sección anterior.

Se conocen varias definiciones equivalentes y más concretas para la noción de extensión puramente inseparable. Si${\displaystyle E\supseteq F}$es una extensión algebraica con la característica prima p (distinta de cero) , entonces las siguientes son equivalentes: ^[2]

1. E es puramente inseparable de F.

2. Para cada elemento ${\displaystyle \alpha \in E}$, existe ${\displaystyle n\geq 0}$ tal que ${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F}$.

3. Cada elemento de E tiene un polinomio mínimo sobre F de la forma${\displaystyle X^{p^{n}}-a}$ por algún entero ${\displaystyle n\geq 0}$ y algún elemento ${\displaystyle a\in F}$.

De las caracterizaciones equivalentes anteriores se deduce que si ${\displaystyle E=F[\alpha ]}$(para F un campo de característica principal) tal que${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F}$ por algún entero ${\displaystyle n\geq 0}$, Entonces E es puramente inseparable sobre F . ^[3] (Para ver esto, tenga en cuenta que el conjunto de todo x tal que${\displaystyle x^{p^{n}}\in F}$ para algunos ${\displaystyle n\geq 0}$forma un campo; ya que este campo contiene tanto${\displaystyle \alpha }$y F , debe ser E , y por la condición 2 anterior,${\displaystyle E\supseteq F}$ debe ser puramente inseparable.)

Si F es un campo imperfecto de característica prima p , elija${\displaystyle a\in F}$tal que a no es una p- ésima potencia en F , y sea f ( X ) =  X ^p  -  a . Entonces f no tiene raíz en F , por lo que si E es un campo de división para f sobre F , es posible elegir${\displaystyle \alpha }$ con ${\displaystyle f(\alpha )=0}$. En particular,${\displaystyle \alpha ^{p}=a}$ y por la propiedad indicada en el párrafo directamente anterior, se sigue que ${\displaystyle F[\alpha ]\supseteq F}$ es una extensión no trivial puramente inseparable (de hecho, ${\displaystyle E=F[\alpha ]}$, y entonces ${\displaystyle E\supseteq F}$es automáticamente una extensión puramente inseparable). ^[4]

Las extensiones puramente inseparables ocurren naturalmente; por ejemplo, ocurren en geometría algebraica sobre campos de característica principal. Si K es un campo de característica p , y si V es una variedad algebraica sobre K de dimensión mayor que cero, el campo de función K ( V ) es una extensión puramente inseparable sobre el subcampo K ( V ) ^p de p- ésimas potencias (este sigue de la condición 2 anterior). Tales extensiones ocurren en el contexto de la multiplicación por p en una curva elíptica.sobre un campo finito de característica p .

Propiedades

• Si la característica de un campo F es un número primo (distinto de cero) p , y si${\displaystyle E\supseteq F}$ es una extensión puramente inseparable, entonces si ${\displaystyle F\subseteq K\subseteq E}$, K es puramente inseparable sobre F y E es puramente inseparable sobre K . Además, si [ E  : F ] es finito, entonces es una potencia de p , la característica de F . ^[5]
• Por el contrario, si ${\displaystyle F\subseteq K\subseteq E}$ es tal que ${\displaystyle F\subseteq K}$ y ${\displaystyle K\subseteq E}$son extensiones puramente inseparables, entonces E es puramente inseparable sobre F . ^[6]
• Una extensión algebraica ${\displaystyle E\supseteq F}$es una extensión inseparable si y solo si hay alguna ${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$ tal que el polinomio mínimo de ${\displaystyle \alpha }$sobre F no es un polinomio separable (es decir, una extensión algebraica es inseparable si y solo si no es separable; tenga en cuenta, sin embargo, que una extensión inseparable no es lo mismo que una extensión puramente inseparable). Si${\displaystyle E\supseteq F}$es una extensión inseparable grado no trivial finito, a continuación, [ E  : F ] es necesariamente divisible por la característica de F . ^[7]
• Si ${\displaystyle E\supseteq F}$ es una extensión normal de grado finito, y si ${\displaystyle K={\mbox{Fix}}({\mbox{Gal}}(E/F))}$, Entonces K es puramente inseparable sobre F y E es separable sobre K . ^[8]

Correspondencia de Galois para extensiones puramente inseparables

Jacobson ( 1937 , 1944 ) introdujo una variación de la teoría de Galois para extensiones puramente inseparables del exponente 1, donde los grupos de automorfismos de campo de Galois en la teoría de Galois son reemplazados por álgebras de derivaciones restringidas de Lie . El caso más simple es para extensiones de índice finito puramente inseparables K ⊆ L de exponente como máximo 1 (lo que significa que la p- ésima potencia de cada elemento de L está en K ). En este caso, el álgebra de Lie de K -derivaciones de L es un álgebra de Lie restringida que también es un espacio vectorial de dimensión n sobre L , donde [L : K ] =  p ⁿ , y los campos intermedios en L que contienen K corresponden a los subálgebras Lie restringidas de esta álgebra de Lie que son espacios vectoriales más de L . Aunque el álgebra de Lie de derivaciones es un espacio vectorial sobre L , en general no es un álgebra de Lie sobre L , pero es un álgebra de Lie sobre K de dimensión n [ L : K ] =  np ⁿ .

Una extensión puramente inseparable se llama extensión modular si es un producto tensorial de extensiones simples, por lo que, en particular, cada extensión del exponente 1 es modular, pero hay extensiones no modulares del exponente 2 ( Weisfeld 1965 ).Sweedler (1968) y Gerstenhaber y Zaromp (1970) dieron una extensión de la correspondencia de Galois a extensiones modulares puramente inseparables, donde las derivaciones son reemplazadas por derivaciones superiores.

Ver también

• Teorema de Jacobson-Bourbaki

Referencias

1. Isaacs, pág. 298
2. Isaacs, Teorema 19.10, p. 298
3. Isaacs, Corolario 19.11, p. 298
4. Isaacs, pág. 299
5. Isaacs, Corolario 19.12, p. 299
6. Isaacs, Corolario 19.13, p. 300
7. Isaacs, Corolario 19.16, p. 301
8. Isaacs, Teorema 19.18, p. 301

• Gerstenhaber, Murray ; Zaromp, Avigdor (1970), "Sobre la teoría de Galois de extensiones de campo puramente inseparables", Boletín de la American Mathematical Society , 76 : 1011–1014, doi : 10.1090 / S0002-9904-1970-12535-6 , ISSN  0002-9904 , MR  0266904
• Isaacs, I. Martin (1993), Álgebra, un curso de posgrado (1ª ed.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, Nathan (1937), "Abstract Derivation and Lie Algebras", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 42 (2): 206-224, doi : 10.2307 / 1989656 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1989656
• Jacobson, Nathan (1944), "Teoría de Galois de campos puramente inseparables del exponente uno", American Journal of Mathematics , 66 : 645–648, doi : 10.2307 / 2371772 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2371772 , MR  0011079
• Sweedler, Moss Eisenberg (1968), "Estructura de extensiones inseparables", Annals of Mathematics , Second Series, 87 : 401–410, doi : 10.2307 / 1970711 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970711 , MR  0223343
• Weisfeld, Morris (1965), "Extensiones puramente inseparables y derivaciones superiores", Transactions of the American Mathematical Society , 116 : 435–449, doi : 10.2307 / 1994126 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1994126 , MR  0191895