En matemáticas , un polinomio P ( X ) sobre un campo determinado K es separable si sus raíces son distintas en un cierre algebraico de K , es decir, el número de raíces distintas es igual al grado del polinomio. [1]
Este concepto está estrechamente relacionado con el polinomio libre de cuadrados . Si K es un campo perfecto , los dos conceptos coinciden. En general, P ( X ) es separable si y solo si está libre de cuadrados sobre cualquier campo que contenga K , lo que se cumple si y solo si P ( X ) es coprime a su derivada formal D P ( X ).
Definición más antigua
En una definición anterior, P ( X ) se consideraba separable si cada uno de sus factores irreductibles en K [ X ] es separable en la definición moderna. [2] En esta definición, la separabilidad dependía del campo K , por ejemplo, cualquier polinomio sobre un campo perfecto se habría considerado separable. Esta definición, aunque puede ser conveniente para la teoría de Galois, ya no se utiliza.
Extensiones de campo separables
Los polinomios separables se utilizan para definir extensiones separables : Una extensión de campo K ⊂ L es una extensión separable si y solo si para cada α ∈ L , que es algebraico sobre K , el polinomio mínimo de α sobre K es un polinomio separable.
Las extensiones inseparables (es decir, las extensiones que no son separables) pueden aparecer solo en la característica p .
El criterio anterior lleva a la rápida conclusión de que si P es irreducible y no separable, entonces DP ( X ) = 0. Por lo tanto, debemos tener
- P ( X ) = Q (X p )
para algún polinomio Q sobre K , donde el número primo p es la característica.
Con esta pista podemos construir un ejemplo:
- P ( X ) = X p - T
con K el campo de funciones racionales en el T indeterminado sobre el campo finito con p elementos. Aquí se puede probar directamente que P ( X ) es irreductible y no separable. Este es en realidad un ejemplo típico de por qué es importante la inseparabilidad ; en términos geométricos, P representa el mapeo de la línea proyectiva sobre el campo finito, llevando las coordenadas a su p- ésima potencia. Tales mapeos son fundamentales para la geometría algebraica de campos finitos. Dicho de otra manera, hay coberturas en ese escenario que la teoría de Galois no puede "ver". (Ver morfismo radical para una discusión de alto nivel).
Si L es la extensión del campo
- K ( T 1 / p ),
en otras palabras, el campo de división de P , entonces L / K es un ejemplo de una extensión de campo puramente inseparable . Es de grado p , pero no tiene automorphism fijación K , distinta de la identidad, porque T 1 / p es la raíz única de P . Esto muestra directamente que la teoría de Galois debe fracasar aquí. Un campo tal que no existen tales extensiones se llama perfecto . Que los campos finitos sean perfectos se sigue a posteriori de su estructura conocida.
Se puede mostrar que el producto tensorial de los campos de L consigo mismo sobre K para este ejemplo tiene elementos nilpotentes que no son cero. Ésta es otra manifestación de inseparabilidad: es decir, la operación del producto tensorial en campos no necesita producir un anillo que sea producto de campos (por lo tanto, no un anillo semisimple conmutativo ).
Si P ( x ) es separable y sus raíces forman un grupo (un subgrupo del campo K ), entonces P ( x ) es un polinomio aditivo .
Aplicaciones en la teoría de Galois
Los polinomios separables ocurren con frecuencia en la teoría de Galois .
Por ejemplo, deja que P sea un polinomio irreducible con coeficientes enteros y p sea un número primo que no divide el coeficiente principal de P . Deje Q el polinomio sobre el campo finito con p elementos, que se obtiene reduciendo modulo p de los coeficientes de P . Entonces, si Q es separable (que es el caso para cada p pero un número finito), entonces los grados de los factores irreducibles de Q son las longitudes de los ciclos de algunos de permutación del grupo de Galois de P .
Otro ejemplo: P siendo como anteriormente, un resolvente R por un grupo G es un polinomio cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de P , que proporciona cierta información sobre el grupo de Galois de P . Más precisamente, si R es separable y tiene una raíz racional entonces el grupo de Galois de P está contenido en G . Por ejemplo, si D es el discriminante de P, entonceses un resolutivo para el grupo alterno . Este resolutivo siempre es separable (asumiendo que la característica no es 2) si P es irreducible, pero la mayoría de los resolutivos no siempre son separables.
Ver también
Referencias
- Páginas 240-241 de Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001