En matemáticas y más específicamente en teoría de campos , una extensión radical de un campo K es una extensión de K que se obtiene al unir una secuencia de raíces n -ésimas de elementos.
Definición
Una extensión radical simple es una extensión simple F / K generada por un solo elemento satisfactorio para un elemento b de K . En la característica p , también tomamos una extensión por una raíz de un polinomio de Artin-Schreier como una extensión radical simple. Una serie radical es una torre donde cada extensión es una simple extensión radical.
Propiedades
- Si E es una extensión radical de F y F es una extensión radical de K entonces E es una extensión radical de K .
- Si E y F son extensiones radicales de K en un Overfield común C , entonces el compositum EF es una extensión radical de K .
- Si E es una extensión radical de F y E > K > F entonces E es una extensión radical de K .
Estas tres propiedades muestran que la clase de extensiones radicales es una clase distinguida de extensiones de campo .
Solvabilidad por radicales
Las extensiones de radicales ocurren naturalmente al resolver ecuaciones polinómicas en radicales . De hecho, una solución en radicales es la expresión de la solución como un elemento de una serie de radicales: se dice que un polinomio f sobre un campo K se puede resolver mediante radicales si hay un campo de división de f sobre K contenido en una extensión radical de K .
El teorema de Abel-Ruffini establece que tal solución por radicales no existe, en general, para ecuaciones de grado al menos cinco. Évariste Galois demostró que una ecuación se puede resolver en radicales si y solo si su grupo de Galois se puede resolver . La demostración se basa en el teorema fundamental de la teoría de Galois y el siguiente teorema.
Sea K un campo que contiene n n- ésimas raíces de unidad distintas . Una extensión de K de grado n es una extensión radical generado por un n º raíz de un elemento de K si y sólo si es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es un grupo cíclico de orden n .
La prueba está relacionada con los solventes de Lagrange . Dejarser una raíz n- ésima primitiva de la unidad (perteneciente a K ). Si la extensión es generada por con como polinomio mínimo , el mapeoinduce un K -automorfismo de la extensión que genera el grupo de Galois, mostrando la implicación "sólo si". Por el contrario, sies un K -automorfismo que genera el grupo de Galois, y es un generador de la extensión, dejemos
La relación implica que el producto de los conjugados de (que son las imágenes de por los K -automorfismos) pertenece a K , y es igual al producto depor el producto de las raíces n -ésimas de la unidad. Como el producto de las raíces n -ésimas de unidades es, esto implica que y así que la extensión es una extensión radical.
De este teorema se deduce que una extensión de Galois puede expresarse como una serie radical si y solo si su grupo de Galois tiene solución. Este es, en terminología moderna, el criterio de solubilidad por radicales proporcionado por Galois. La prueba utiliza el hecho de que la clausura de Galois de una extensión radical simple de grado n es la extensión de la misma por una raíz n- ésima primitiva de la unidad, y que el grupo de Galois de la raíz n- ésima de la unidad es cíclico.
Referencias
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Señor 1878556
- Roman, Steven (2006). Teoría de campo . Textos de Posgrado en Matemáticas. 158 (2ª ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-27677-7. Zbl 1172.12001 .