El q- gaussiano es una distribución de probabilidad que surge de la maximización de la entropía de Tsallis bajo las restricciones apropiadas. Es un ejemplo de distribución Tsallis . El q- gaussiano es una generalización del gaussiano de la misma manera que la entropía de Tsallis es una generalización de la entropía estándar de Boltzmann-Gibbs o la entropía de Shannon . [1] La distribución normal se recupera cuando q → 1.
Función de densidad de probabilidad | |||
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El q- gaussiano se ha aplicado a problemas en los campos de la mecánica estadística , geología , anatomía , astronomía , economía , finanzas y aprendizaje automático . La distribución a menudo se ve favorecida por sus colas pesadas en comparación con la gaussiana para 1 < q <3. Parala distribución q- gaussiana es la PDF de una variable aleatoria acotada . Esto hace que en biología y otros dominios [2] la distribución q- gaussiana sea más adecuada que la distribución gaussiana para modelar el efecto de la estocasticidad externa. En 2008 se propuso un q -análogo generalizado del teorema clásico del límite central [3] , en el que la restricción de independencia para las variables iid se relaja en un grado definido por el parámetro q , y la independencia se recupera como q → 1. Sin embargo, todavía falta una prueba de tal teorema. [4]
En las regiones de cola pesada, la distribución es equivalente a la de Student t -distribución con un mapeo directo entre Q y los grados de libertad . Por tanto, un profesional que utilice una de estas distribuciones puede parametrizar la misma distribución de dos formas diferentes. La elección de la forma q- gaussiana puede surgir si el sistema no es extenso o si no existe una conexión con tamaños de muestra pequeños.
Caracterización
Función de densidad de probabilidad
El q- gaussiano tiene la función de densidad de probabilidad [3]
dónde
es el q -exponencial y el factor de normalización es dado por
Tenga en cuenta que para la distribución q- gaussiana es la PDF de una variable aleatoria acotada .
Entropía
Así como la distribución normal es la máxima distribución de entropía de información para valores fijos del primer momento y segundo momento (con el momento cero fijo correspondiente a la condición de normalización), la distribución q -Gaussiana es la distribución máxima de entropía de Tsallis para valores fijos de estos tres momentos.
Distribuciones relacionadas
De Student t -distribución
Si bien puede justificarse por una forma alternativa interesante de entropía, estadísticamente es una reparametrización a escala del de Student t -distribución introducida por W. Gosset en 1908 para describir las estadísticas con muestras pequeñas. En la presentación original de Gosset, el parámetro de grados de libertad ν estaba restringido a ser un número entero positivo relacionado con el tamaño de la muestra, pero se observa fácilmente que la función de densidad de Gosset es válida para todos los valores reales de ν . [ cita requerida ] La reparametrización a escala introduce los parámetros alternativos q y β que están relacionados con ν .
Dada la distribución t de Student con ν grados de libertad, el equivalente q- gaussiano tiene
con inversa
Cuando sea , la función es simplemente una versión escalada de la distribución t de Student.
A veces se argumenta que la distribución es una generalización de la distribución t de Student a grados de libertad negativos o no enteros. Sin embargo, la teoría de la distribución t de Student se extiende trivialmente a todos los grados reales de libertad, donde el soporte de la distribución es ahora compacto en lugar de infinito en el caso de ν <0. [ cita requerida ]
Versión de tres parámetros
Como ocurre con muchas distribuciones centradas en cero, el q- gaussiano puede extenderse trivialmente para incluir un parámetro de ubicación μ . La densidad luego se define por
Generando desviaciones aleatorias
La transformada de Box-Muller se ha generalizado para permitir el muestreo aleatorio de q- gaussianos. [5] La técnica estándar de Box-Muller genera pares de variables independientes distribuidas normalmente a partir de ecuaciones de la siguiente forma.
La técnica generalizada de Box-Muller puede generar pares de desvíos q- gaussianos que no son independientes. En la práctica, solo se generará una desviación a partir de un par de variables distribuidas uniformemente. La siguiente fórmula generará desviaciones de un q -Gaussiano con el parámetro especificado q y
dónde es el q -logaritmo y
Estas desviaciones se pueden transformar para generar desviaciones de un q- gaussiano arbitrario por
Aplicaciones
Física
Se ha demostrado que la distribución de la cantidad de movimiento de los átomos fríos en las redes ópticas disipativas es un q- gaussiano. [6]
La distribución q- gaussiana también se obtiene como la función de densidad de probabilidad asintótica de la posición del movimiento unidimensional de una masa sujeta a dos fuerzas: una fuerza determinista del tipo (determinando un pozo de potencial infinito) y una fuerza estocástica de ruido blanco , dónde es un ruido blanco . Tenga en cuenta que en la aproximación de masa pequeña / sobreamortiguada, la convergencia mencionada anteriormente falla para, como se mostró recientemente. [7]
Finanzas
Las distribuciones de rendimiento financiero en la Bolsa de Valores de Nueva York, NASDAQ y otros lugares se han interpretado como q- gaussianos. [8] [9]
Ver también
- Constantino Tsallis
- Estadísticas de Tsallis
- Entropía de Tsallis
- Distribución de Tsallis
- q -distribución exponencial
- Proceso Q-Gaussiano
Notas
- ^ Tsallis, C. Entropía no aditiva y mecánica estadística no extensiva: una descripción general después de 20 años. Braz. J. Phys. 2009, 39, 337–356
- ^ d'Onofrio A. (ed.) Ruidos limitados en física, biología e ingeniería. Birkhauser (2013)
- ^ a b Umarov, Sabir; Tsallis, Constantino; Steinberg, Stanly (2008). "En un teorema del límite central q- coherente con la mecánica estadística no extensiva" (PDF) . Milan J. Math . Birkhauser Verlag. 76 : 307–328. doi : 10.1007 / s00032-008-0087-y . S2CID 55967725 . Consultado el 27 de julio de 2011 .
- ^ Hilhorst, HJ (2010), "Nota sobre un teorema del límite central modificado por q ", Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment , 2010 (10): P10023, arXiv : 1008.4259 , Bibcode : 2010JSMTE..10..023H , doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2010/10 / P10023 , S2CID 119316670 .
- ^ W. Thistleton, JA Marsh, K. Nelson y C. Tsallis, Método generalizado de Box-Muller para generardesviaciones aleatorias q- gaussianas, IEEE Transactions on Information Theory 53, 4805 (2007)
- ^ Douglas, P .; Bergamini, S .; Renzoni, F. (2006). "Distribuciones de Tsallis sintonizables en celosías ópticas disipativas" (PDF) . Cartas de revisión física . 96 (11): 110601. Código bibliográfico : 2006PhRvL..96k0601D . doi : 10.1103 / PhysRevLett.96.110601 . PMID 16605807 .
- ^ Domingo, Darío; d'Onofrio, Alberto; Flandoli, Franco (2017). "Delimitación vs ilimitación de un ruido vinculado a las estadísticas q de Tsallis: el papel de la aproximación sobreamortiguada" . Revista de Física Matemática . Publicación AIP. 58 (3): 033301. doi : 10.1063 / 1.4977081 . ISSN 0022-2488 . S2CID 84178785 .
- ^ Borland, Lisa (7 de agosto de 2002). "Fórmulas de fijación de precios de opciones basadas en un modelo de precio de acciones no gaussiano". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 89 (9): 098701. arXiv : cond-mat / 0204331 . doi : 10.1103 / physrevlett.89.098701 . ISSN 0031-9007 . PMID 12190447 . S2CID 5740827 .
- ^ L. Borland, El precio de las opciones sobre acciones, en Entropía no extensiva - Aplicaciones interdisciplinarias, eds. M. Gell-Mann y C. Tsallis (Oxford University Press, Nueva York, 2004)
Otras lecturas
- Enebro, J. (2007) "La distribución de Tsallis y la entropía generalizada: perspectivas de futuras investigaciones sobre la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre" (PDF) ., Centro de Pleno Empleo y Equidad, Universidad de Newcastle, Australia
enlaces externos
- Estadísticas de Tsallis, mecánica estadística para sistemas no extensivos e interacciones de largo alcance