Courant algebroid

En un campo de las matemáticas conocido como geometría diferencial , Zhang-Ju Liu, Alan Weinstein y Ping Xu introdujeron originalmente una geometría de Courant en su investigación de los dobles de los bialgebroides de Lie en 1997. ^[1] Liu, Weinstein y Xu la nombraron en honor a Courant , que había ideado implícitamente a principios de 1990 ^[2] el prototipo estándar del algebroide de Courant a través de su descubrimiento de un corchete simétrico sesgado en${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$, llamado hoy corchete de Courant, que no satisface la identidad de Jacobi. Tanto este ejemplo estándar como el doble de una bialgebra de Lie son instancias especiales de álgebroides de Courant.

Definición

Un algebroide de Courant consta de los datos de un paquete de vectores ${\displaystyle E\to M}$ con un soporte ${\displaystyle [.,.]:\Gamma E\times \Gamma E\to \Gamma E}$, un producto interior fibroso no degenerado ${\displaystyle \langle .,.\rangle :E\times E\to M\times \mathbb {R} }$y un mapa de paquete ${\displaystyle \rho :E\to TM}$ sujeto a los siguientes axiomas,

${\displaystyle [\phi ,[\chi ,\psi ]]=[[\phi ,\chi ],\psi ]+[\chi ,[\phi ,\psi ]]}$

${\displaystyle [\phi ,f\psi ]=\rho (\phi )f\psi +f[\phi ,\psi ]}$

${\displaystyle [\phi ,\phi ]={\tfrac {1}{2}}D\langle \phi ,\phi \rangle }$

${\displaystyle \rho (\phi )\langle \psi ,\psi \rangle =2\langle [\phi ,\psi ],\psi \rangle }$

donde ${\displaystyle \phi ,\chi ,\psi }$son secciones de E y f es una función suave de la base del bloque M . D es la combinación${\displaystyle \kappa ^{-1}\rho ^{T}d}$con d el diferencial de De Rham,${\displaystyle \rho ^{T}}$ el mapa dual de ${\displaystyle \rho }$, y κ el mapa de E a${\displaystyle E^{*}}$ inducida por el producto interior.

Definición de simétrica sesgada

Se puede dar una definición alternativa para hacer el corchete simétrico sesgado como

${\displaystyle [[\phi ,\psi ]]={\tfrac {1}{2}}{\big (}[\phi ,\psi ]-[\psi ,\phi ]{\big .})}$

Esto ya no satisface el axioma de identidad de Jacobi anterior. En cambio, cumple una identidad Jacobi homotópica.

${\displaystyle [[\phi ,[[\psi ,\chi ]]\,]]+{\text{cycl.}}=DT(\phi ,\psi ,\chi )}$

donde T es

${\displaystyle T(\phi ,\psi ,\chi )={\frac {1}{3}}\langle [\phi ,\psi ],\chi \rangle +{\text{cycl.}}}$

La regla de Leibniz y la invariancia del producto escalar se modifican por la relación ${\displaystyle [[\phi ,\psi ]]=[\phi ,\psi ]-{\tfrac {1}{2}}D\langle \phi ,\psi \rangle }$ y la violación de la simetría sesgada es reemplazada por el axioma

${\displaystyle \rho \circ D=0}$

El corchete simétrico sesgado junto con la derivación D y el Jacobiator T forman un álgebra de Lie fuertemente homotópica .

Propiedades

El corchete no es simétrico sesgado como se puede ver en el tercer axioma. En cambio, cumple una cierta identidad Jacobi (primer axioma) y una regla de Leibniz (segundo axioma). De estos dos axiomas se puede derivar que el mapa de anclaje ρ es un morfismo de paréntesis:

${\displaystyle \rho [\phi ,\psi ]=[\rho (\phi ),\rho (\psi )].}$

La cuarta regla es una invariancia del producto interno debajo del paréntesis. La polarización conduce a

${\displaystyle \rho (\phi )\langle \chi ,\psi \rangle =\langle [\phi ,\chi ],\psi \rangle +\langle \chi ,[\phi ,\psi ]\rangle .}$

Ejemplos

Un ejemplo del algebroide de Courant es el corchete de Dorfman ^[3] en la suma directa${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$con un giro introducido por Ševera, ^[4] (1998) definido como:

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+({\mathcal {L}}_{X}\,\eta -i(Y)d\xi +i(X)i(Y)H)}$

donde X, Y son campos vectoriales, ξ, η son formas 1 y H es una forma 3 cerrada que tuerce el corchete. Este paréntesis se utiliza para describir la integrabilidad de estructuras complejas generalizadas .

Un ejemplo más general surge de un algebroide A de Lie cuyo diferencial inducido en${\displaystyle A^{*}}$se escribirá de nuevo como d . Luego use la misma fórmula que para el corchete de Dorfman con H una forma A -3 cerrada bajo d .

Otro ejemplo de un algebroide de Courant es un álgebra de Lie cuadrática, es decir, un álgebra de Lie con un producto escalar invariante. Aquí, la variedad base es solo un punto y, por lo tanto, el mapa de anclaje (y D ) son triviales.

El ejemplo descrito en el artículo de Weinstein et al. proviene de una bialgebroide Lie, es decir, A a Lie algebroide (con el ancla${\displaystyle \rho _{A}}$ y soporte ${\displaystyle [.,.]_{A}}$), también su doble ${\displaystyle A^{*}}$ un algebroide de Lie (que induce el diferencial ${\displaystyle d_{A^{*}}}$ en ${\displaystyle \wedge ^{*}A}$) y ${\displaystyle d_{A^{*}}[X,Y]_{A}=[d_{A^{*}}X,Y]_{A}+[X,d_{A^{*}}Y]_{A}}$(donde en el lado derecho extiende el soporte A para${\displaystyle \wedge ^{*}A}$utilizando la regla graduada de Leibniz). Esta noción es simétrica en A y${\displaystyle A^{*}}$(ver Roytenberg). Aquí${\displaystyle E=A\oplus A^{*}}$ con ancla ${\displaystyle \rho (X+\alpha )=\rho _{A}(X)+\rho _{A^{*}}(\alpha )}$y el corchete es la simetrización sesgada de lo anterior en X y α (de manera equivalente en Y y β ):

${\displaystyle [X+\alpha ,Y+\beta ]=([X,Y]_{A}+{\mathcal {L}}_{\alpha }^{A^{*}}Y-i_{\beta }d_{A^{*}}X)+([\alpha ,\beta ]_{A^{*}}+{\mathcal {L}}_{X}^{A}\beta -i_{Y}d_{A}\alpha )}$

Estructuras de Dirac

Dado un algebroide Courant con el producto interno ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ de firma dividida (por ejemplo, la estándar ${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$), entonces una estructura de Dirac es un subconjunto de vector integrable máximamente isotrópico L → M , es decir

${\displaystyle \langle L,L\rangle \equiv 0}$,

${\displaystyle \mathrm {rk} \,L={\tfrac {1}{2}}\mathrm {rk} \,E}$,

${\displaystyle [\Gamma L,\Gamma L]\subset \Gamma L}$.

Ejemplos

Como lo descubrió Courant y en paralelo Dorfman, la gráfica de una forma 2 ω ∈ Ω ² ( M ) es máximamente isótropa y además integrable si f d ω = 0, es decir, la forma 2 está cerrada bajo el diferencial de Rham, es decir, una estructura presintéctica.

Una segunda clase de ejemplos surge de bivectors ${\displaystyle \Pi \in \Gamma (\wedge ^{2}TM)}$cuya gráfica es máximo si y sólo si isotrópica y integrable [Π, Π] = 0, es decir, Π es un bivector Poisson en M .

Estructuras complejas generalizadas

(ver también el artículo principal geometría compleja generalizada )

Dado un algebroide Courant con producto interno de firma dividida. Una estructura compleja generalizada L → M es una estructura de Dirac en el complejizado Courant algebroide con la propiedad adicional

${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=0}$

donde ${\displaystyle {\bar {\ }}}$ significa conjugación compleja con respecto a la estructura compleja estándar en la complexificación.

Tal como lo estudió en detalle Gualtieri ^[5], las estructuras complejas generalizadas permiten el estudio de la geometría análoga a la geometría compleja .

Ejemplos

Además de las estructuras presintécticas y de Poisson, se encuentran ejemplos también el gráfico de una estructura compleja J : TM → TM .

Referencias

1. ZJ. Liu, A. Weinstein y P. Xu: Manin se triplica para Lie Bialgebroids , Journ. de Diff.geom. 45 págs. 647–574 (1997).
2. TJ Courant: Dirac Manifolds , Transactions of the American Mathematical Society, vol. 319, págs. 631-661 (1990).
3. IY Dorfman: Estructuras de Dirac de ecuaciones de evolución integrables , Physics Letters A, vol.125, pp.240–246 (1987).
4. P. Ševera: Cartas a A. Weinstein , inéditas.
5. M. Gualtieri: Geometría compleja generalizada , Ph.D. tesis, Universidad de Oxford, (2004)

Lectura adicional

• Dmitry Roytenberg: Algebroides de Courant, corchetes derivados e incluso supervariedades simplécticas , tesis doctoral Univ. de California Berkeley (1999)