En matemáticas, el grupo unitario especial de grado n , denotado SU ( n ) , es el grupo de Lie de n × n matrices unitarias con determinante 1.
Las matrices unitarias más generales pueden tener determinantes complejos con valor absoluto 1, en lugar de 1 real en el caso especial.
La operación de grupo es la multiplicación de matrices . El grupo unitario especial es un subgrupo del grupo unitario U ( n ) , que consta de todas n × n matrices unitarias. Como grupo clásico compacto , U ( n ) es el grupo que conserva el producto interno estándar en. [a] Es en sí mismo un subgrupo del grupo lineal general ,.
Los grupos SU ( n ) encuentran una amplia aplicación en el Modelo Estándar de física de partículas , especialmente SU (2) en la interacción electrodébil y SU (3) en la cromodinámica cuántica . [1]
El caso más simple, SU (1) , es el grupo trivial , que tiene un solo elemento. El grupo SU (2) es isomorfo al grupo de cuaterniones de la norma 1 y, por lo tanto, es difeomorfo a la 3-esfera . Dado que los cuaterniones unitarios se pueden usar para representar rotaciones en un espacio tridimensional (hasta el signo), hay un homomorfismo sobreyectivo de SU (2) al grupo de rotación SO (3) cuyo núcleo es {+ I , - I } . [b] SU (2) también es idéntico a uno de los grupos de simetría de espinores , Spin (3), que permite una presentación de espinores de rotaciones.
Propiedades
El grupo unitario especial SU ( n ) es un grupo de Lie real (aunque no un grupo de Lie complejo ). Su dimensión como variedad real es n 2 - 1 . Topológicamente, es compacto y está simplemente conectado . [2] Algebraicamente, es un grupo de Lie simple (lo que significa que su álgebra de Lie es simple; ver más abajo). [3]
El centro de SU ( n ) es isomorfo al grupo cíclico , Y se compone de las matrices diagonales zeta I para ζ un n º raíz de la unidad y que el n × n matriz identidad.
Su grupo de automorfismo externo , para n ≥ 3 , es, mientras que el grupo de automorfismo externo de SU (2) es el grupo trivial .
Un toro máximo, de rango n - 1 , viene dado por el conjunto de matrices diagonales con determinante 1. El grupo de Weyl es el grupo simétrico S n , que está representado por matrices de permutación con signo (los signos son necesarios para asegurar que el determinante es 1 ).
El álgebra de Lie de SU ( n ) , denotado por, se puede identificar con el conjunto de matrices complejas n × n antihermitianas sin trazas , con el conmutador regular como un corchete de Lie. Los físicos de partículas a menudo usan una representación diferente y equivalente: el conjunto de matrices complejas n × n hermitianas sin trazas con paréntesis de Lie dada por - i multiplicado por el conmutador.
Álgebra de mentiras
El álgebra de mentira de consiste en matrices sesgadas-hermitianas con traza cero. [4] Este álgebra de mentira (real) tiene dimensión. Más información sobre la estructura de este álgebra de Lie se puede encontrar a continuación en la sección "Estructura del álgebra de Lie".
Representación fundamental
En la literatura de la física, es común para identificar el álgebra de Lie con el espacio de la traza de cero hermitiana (en lugar de los hemi-hermitiana) matrices. Es decir, el álgebra de Lie de los físicos difiere en un factor dede los matemáticos '. Con esta convención, se pueden elegir generadores T a que sean matrices n × n complejas hermitianas sin trazas , donde:
donde f son las constantes de estructura y son antisimétricas en todos los índices, mientras que los coeficientes d son simétricos en todos los índices.
Como consecuencia, el anticonmutador y el conmutador son:
El factor de en las relaciones de conmutación surge de la convención de la física y no está presente cuando se usa la convención de los matemáticos.
También podemos tomar
como una convención de normalización.
Representación adjunta
En la representación adjunta ( n 2 - 1) -dimensional , los generadores están representados por ( n 2 - 1) × ( n 2 - 1) matrices, cuyos elementos están definidos por las propias constantes de estructura:
El grupo SU (2)
SU (2) es el siguiente grupo, [5]
donde la línea superior denota una conjugación compleja .
Diffeomorfismo con S 3
Si consideramos como pareja en dónde y , luego la ecuación se convierte en
Esta es la ecuación de las 3 esferas S 3 . Esto también se puede ver usando una incrustación: el mapa
dónde denota el conjunto de matrices complejas de 2 por 2, es un mapa lineal real inyectivo (considerando difeomorfo a y difeomorfo a ). Por lo tanto, la restricción de φ a la 3-esfera (dado que el módulo es 1), denotado S 3 , es una incrustación de la 3-esfera en una subvariedad compacta de, a saber, φ ( S 3 ) = SU (2) .
Por lo tanto, como variedad, S 3 es difeomórfico de SU (2) , lo que muestra que SU (2) está simplemente conectado y que S 3 puede estar dotado de la estructura de un grupo de Lie compacto y conectado .
Isomorfismo con cuaterniones unitarios
La matriz compleja:
se puede asignar al cuaternión :
Este mapa es de hecho un isomorfismo. Además, el determinante de la matriz es la norma cuadrada del cuaternión correspondiente. Claramente, cualquier matriz en SU (2) tiene esta forma y, dado que tiene el determinante 1, el cuaternión correspondiente tiene la norma 1. Por lo tanto, SU (2) es isomorfo a los cuaterniones unitarios . [6]
Relación con las rotaciones espaciales
Cada cuaternión unitario está asociado naturalmente a una rotación espacial en 3 dimensiones, y el producto de dos cuaterniones está asociado a la composición de las rotaciones asociadas. Además, cada rotación surge de exactamente dos cuaterniones unitarios de esta manera. En resumen: hay un homomorfismo sobreyectivo 2: 1 de SU (2) a SO (3) ; en consecuencia, SO (3) es isomorfo al grupo cociente SU (2) / {± I}, la variedad subyacente SO (3) se obtiene identificando los puntos antípodas de la 3-esfera S 3 , y SU (2) es el universal portada de SO (3).
Álgebra de mentiras
El álgebra de Lie de SU (2) consiste en matrices sesgadas-hermitianas con traza cero. [7] Explícitamente, esto significa
Luego, el álgebra de Lie se genera mediante las siguientes matrices,
que tienen la forma del elemento general especificado anteriormente.
Estos satisfacen las relaciones del cuaternión. y Por lo tanto, el soporte del conmutador se especifica mediante
Los generadores anteriores están relacionados con las matrices de Pauli por y Esta representación se utiliza habitualmente en mecánica cuántica para representar el giro de partículas fundamentales como los electrones . También sirven como vectores unitarios para la descripción de nuestras 3 dimensiones espaciales en la gravedad cuántica de bucles .
El álgebra de Lie sirve para elaborar las representaciones de SU (2) .
El grupo SU (3)
es un grupo de Lie simple de 8 dimensiones que consta de todas las matrices unitarias de 3 × 3 con determinante 1.
Topología
El grupo es un grupo de Lie compacto y simplemente conectado. [8] Su estructura topológica puede entenderse observando que SU (3) actúa transitivamente sobre la esfera unitaria. en . El estabilizador de un punto arbitrario en la esfera es isomorfo a SU (2), que topológicamente es una 3-esfera. Luego se deduce que SU (3) es un haz de fibras sobre la base con fibra . Dado que las fibras y la base están simplemente conectadas, la conexión simple de SU (3) sigue por medio de un resultado topológico estándar (la secuencia larga exacta de grupos de homotopía para haces de fibras). [9]
La -paquetes sobre están clasificados por ya que cualquier paquete de este tipo se puede construir mirando paquetes triviales en los dos hemisferios y mirando la función de transición en su intersección que es homotopía equivalente a , entonces
Entonces, todas estas funciones de transición se clasifican por clases de mapas de homotopía.
y como en vez de , no puede ser el paquete trivial y, por lo tanto, debe ser el paquete único no trivial (retorcido). Esto se puede demostrar observando la secuencia larga exacta inducida en grupos de homotopía.
Teoría de la representación
La teoría de la representación de se entiende bien. [10] Descripciones de estas representaciones, desde el punto de vista de su álgebra de Lie compleja., se pueden encontrar en los artículos sobre representaciones del álgebra de Lie o los coeficientes de Clebsch-Gordan para SU (3) .
Álgebra de mentiras
Los generadores, T , del álgebra de Lie de en la representación definitoria (física de partículas, hermitiana), son
donde λ , las matrices de Gell-Mann , son el análogo SU (3) de las matrices de Pauli para SU (2) :
Estos λ un lapso todo traceless hermitiana matrices H de la álgebra de Lie , según se requiera. Tenga en cuenta que λ 2 , λ 5 , λ 7 son antisimétricas.
Obedecen las relaciones
o equivalente,
- .
Las f son las constantes de estructura del álgebra de Lie, dadas por
mientras que todos los demás f abc no relacionados con estos por permutación son cero. En general, desaparecen a menos que contengan un número impar de índices del conjunto {2, 5, 7}. [C]
Los coeficientes simétricos d toman los valores
Desaparecen si el número de índices del conjunto {2, 5, 7} es impar.
Un elemento genérico del grupo SU (3) generado por una matriz hermitiana de 3 × 3 sin trazas H , normalizada como tr ( H 2 ) = 2 , se puede expresar como un polinomio matricial de segundo orden en H : [11]
dónde
Estructura del álgebra de mentiras
Como se señaló anteriormente, el álgebra de Lie de consiste en matrices sesgadas-hermitianas con traza cero. [12]
La complejidad del álgebra de Lie es , el espacio de todos matrices complejas con traza cero. [13] Una subálgebra de Cartan consiste en matrices diagonales con traza cero, [14] que identificamos con vectores encuyas entradas suman cero. Las raíces entonces consistirá en todas las n ( n - 1) permutaciones de (1, -1, 0, ..., 0) .
Una elección de raíces simples es
Entonces, SU ( n ) es de rango n - 1 y su diagrama de Dynkin está dado por A n −1 , una cadena de n - 1 nodos:.... [15] Su matriz de Cartan es
Su grupo Weyl o grupo Coxeter es el grupo simétrico S n , el grupo de simetría del ( n - 1) - simplex .
Grupo unitario especial generalizado
Para un campo F , el grupo unitario especial generalizado sobre F , SU ( p , q ; F ) , es el grupo de todas las transformaciones lineales del determinante 1 de un espacio vectorial de rango n = p + q sobre F que dejan invariante un no degenerado , Forma de firma hermitiana ( p , q ) . Este grupo se refiere a menudo como el grupo unitario especial de la firma PQ sobre F . El campo F se puede reemplazar por un anillo conmutativo , en cuyo caso el espacio vectorial se reemplaza por un módulo libre .
Específicamente, fije una matriz hermitiana A de firma pq en, entonces todo
satisfacer
A menudo se verá la notación SU ( p , q ) sin referencia a un anillo o campo; en este caso, el anillo o campo al que se hace referencia esy esto da uno de los grupos de Lie clásicos . La elección estándar para A cuando es
Sin embargo, puede haber mejores opciones para A para ciertas dimensiones que exhiben más comportamiento bajo restricción a subanillos de.
Ejemplo
Un ejemplo importante de este tipo de grupo es el grupo modular Picard que actúa (proyectivamente) sobre un espacio hiperbólico complejo de grado dos, de la misma manera que actúa (proyectivamente) sobre el espacio hiperbólico real de dimensión dos. En 2005, Gábor Francsics y Peter Lax calcularon un dominio fundamental explícito para la acción de este grupo en HC 2 . [dieciséis]
Otro ejemplo es , que es isomorfo a .
Subgrupos importantes
En física, el grupo unitario especial se utiliza para representar simetrías bosónicas . En las teorías de ruptura de simetría es importante poder encontrar los subgrupos del grupo unitario especial. Los subgrupos de SU ( n ) que son importantes en la física de GUT son, para p > 1, n - p > 1 ,
donde × denota el producto directo y U (1) , conocido como grupo circular , es el grupo multiplicativo de todos los números complejos con valor absoluto 1.
Para completar, también existen los subgrupos ortogonales y simplécticos ,
Dado que el rango de SU (n) es n - 1 y de U (1) es 1, una verificación útil es que la suma de los rangos de los subgrupos sea menor o igual que el rango del grupo original. SU ( n ) es un subgrupo de varios otros grupos de Lie,
Ver grupo de giro y grupos simples de Lie para E 6 , E 7 y G 2 .
También están los isomorfismos accidentales : SU (4) = Spin (6) , SU (2) = Spin (3) = Sp (1) , [d] y U (1) = Spin (2) = SO (2) .
Finalmente, se puede mencionar que SU (2) es el grupo de doble cobertura de SO (3) , una relación que juega un papel importante en la teoría de rotaciones de 2 espinores en la mecánica cuántica no relativista .
El grupo SU (1,1)
dónde denota el conjugado complejo del número complejo u .
Este grupo es localmente isomorfo a SO (2,1) y SL (2, ℝ) [17] donde los números separados por una coma se refieren a la firma de la forma cuadrática preservada por el grupo. La expresionen la definición de SU (1,1) es una forma hermitiana que se convierte en una forma cuadrática isotrópico cuando u y v se expanden con sus componentes reales. Una aparición temprana de este grupo fue como la "esfera unitaria" de cocuaterniones , introducida por James Cockle en 1852.
Luego la matriz identidad 2 × 2, y y los elementos de i, j, y k todo anticonmutan , como cuaterniones regulares. Tambiénsigue siendo una raíz cuadrada de - I 2 (negativo de la matriz identidad), mientras queno lo son, a diferencia de los cuaterniones . Tanto para los cuaterniones como para los cocuaterniones , todas las cantidades escalares se tratan como múltiplos implícitos de I 2 , denominados unidad (co) cuaternión , y ocasionalmente se anotan explícitamente como 1 .
El coquaternion con escalar w , tiene conjugadosimilar a los cuaterniones de Hamilton. La forma cuadrática es
Tenga en cuenta que el hiperboloide de 2 hojas corresponde a las unidades imaginarias en el álgebra de modo que cualquier punto p en este hiperboloide puede usarse como un polo de una onda sinusoidal según la fórmula de Euler .
El hiperboloide es estable bajo SU (1,1) , lo que ilustra el isomorfismo con SO (2,1) . La variabilidad del polo de una onda, como se observa en los estudios de polarización , podría ver la polarización elíptica como una exhibición de la forma elíptica de una onda con polo.. El modelo de esfera de Poincaré utilizado desde 1892 se ha comparado con un modelo hiperboloide de 2 hojas. [18]
Cuando un elemento de SU (1,1) se interpreta como una transformación de Möbius , deja estable el disco unitario , por lo que este grupo representa los movimientos del modelo de disco de Poincaré de geometría de plano hiperbólico. De hecho, para un punto [ z, 1 ] en la línea proyectiva compleja , la acción de SU (1,1) está dada por
ya que en coordenadas proyectivas
Escritura muestra aritmética de números complejos
dónde Por lo tanto, de modo que su relación se encuentre en el disco abierto. [19]
Ver también
- Grupo unitario
- Grupo unitario especial proyectivo , PSU ( n )
- Grupo ortogonal
- Generalizaciones de matrices de Pauli
- Teoría de representación de SU (2)
Notas al pie
- ^ Para una caracterización de U ( n ) y por lo tanto SU ( n ) en términos de preservación del producto interno estándar en, ver grupo clásico .
- ^ Para una descripción explícita del homomorfismo SU (2) → SO (3) , consulte Conexión entre SO (3) y SU (2) .
- ^ Por lo tanto, menos de 1 ⁄ 6 de todos los f abc no desaparecen.
- ^ Sp ( n ) es la forma real compacta de. A veces se denota USp ( 2n ) . La dimensión de las matrices de Sp ( n ) es 2 n × 2 n .
Citas
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- ^ Salón 2015 Proposición 3.24
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Referencias
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