En matemáticas y física , un gráfico cuántico es una estructura lineal en forma de red de vértices conectados en bordes (es decir, un gráfico ) en el que a cada borde se le da una longitud y donde se plantea una ecuación diferencial (o pseudo-diferencial) en cada borde. borde. Un ejemplo sería una red eléctrica que consta de líneas eléctricas (bordes) conectadas en estaciones transformadoras (vértices); las ecuaciones diferenciales describirían entonces el voltaje a lo largo de cada una de las líneas, con condiciones de contorno para cada borde proporcionadas en los vértices adyacentes asegurando que la corriente agregada sobre todos los bordes se suma a cero en cada vértice.
Los gráficos cuánticos fueron estudiados por primera vez por Linus Pauling como modelos de electrones libres en moléculas orgánicas en la década de 1930. También surgen en una variedad de contextos matemáticos, [1] por ejemplo, como sistemas modelo en el caos cuántico , en el estudio de guías de ondas , en cristales fotónicos y en la localización de Anderson , o como límite para encoger cables delgados. Los gráficos cuánticos se han convertido en modelos prominentes en la física mesoscópica utilizados para obtener una comprensión teórica de la nanotecnología . Otra noción más simple de gráficos cuánticos fue introducida por Freedman et al. [2]
Además de resolver realmente las ecuaciones diferenciales planteadas en un gráfico cuántico para fines de aplicaciones concretas, las preguntas típicas que surgen son las de controlabilidad (qué entradas deben proporcionarse para llevar el sistema al estado deseado, por ejemplo, proporcionar energía suficiente a todas las casas en una red eléctrica) e identificabilidad (cómo y dónde hay que medir algo para obtener una imagen completa del estado del sistema, por ejemplo, midiendo la presión de una red de tuberías de agua para determinar si hay o no una tubería con fugas).
Gráficos métricos
Un gráfico métrico es un gráfico que consta de un conjunto de vértices y un conjunto de bordes donde cada borde se ha asociado con un intervalo así que eso es la coordenada en el intervalo, el vértice corresponde a y a o viceversa. La elección de qué vértice se encuentra en cero es arbitraria y la alternativa corresponde a un cambio de coordenada en el borde. El gráfico tiene una métrica natural: para dos puntos en el gráfico, es la distancia más corta entre ellos donde la distancia se mide a lo largo de los bordes del gráfico.
Gráficos abiertos: en el modelo de gráfico combinatorio, los bordes siempre unen pares de vértices; sin embargo, en un gráfico cuántico también se pueden considerar bordes semiinfinitos. Estos son los bordes asociados con el intervalo. unido a un solo vértice en . Un gráfico con uno o más de estos bordes abiertos se denomina gráfico abierto.
Gráficos cuánticos
Los gráficos cuánticos son gráficos métricos equipados con un operador diferencial (o pseudo-diferencial) que actúa sobre funciones en el gráfico. Una función en un gráfico métrico se define como el -tupla de funciones en los intervalos. El espacio de Hilbert del gráfico es donde el producto interno de dos funciones es
puede ser infinito en el caso de un borde abierto. El ejemplo más simple de un operador en un gráfico métrico es el operador de Laplace . El operador en un borde es dónde es la coordenada en el borde. Para que el operador sea autoadjunto, se debe especificar un dominio adecuado. Esto se logra típicamente tomando el espacio de Sobolev de funciones en los bordes del gráfico y especificando condiciones de coincidencia en los vértices.
El ejemplo trivial de condiciones coincidentes que hacen que el operador sea autoadjunto son las condiciones de contorno de Dirichlet ,para cada borde. Una función propia en un borde finito se puede escribir como
para entero . Si el gráfico está cerrado sin bordes infinitos y las longitudes de los bordes del gráfico son racionalmente independientes, entonces una función propia se admite en un solo borde del gráfico y los valores propios son. Las condiciones de Dirichlet no permiten la interacción entre los intervalos, por lo que el espectro es el mismo que el del conjunto de bordes desconectados.
Las condiciones de coincidencia autoadjuntos más interesantes que permiten la interacción entre los bordes son las condiciones de coincidencia natural o de Neumann . Una función en el dominio del operador es continua en todas partes del gráfico y la suma de las derivadas salientes en un vértice es cero,
dónde si el vértice Me senté y Si Me senté .
También se han estudiado las propiedades de otros operadores en gráficos métricos.
- Estos incluyen la clase más general de operadores de Schrödinger,
dónde es un "potencial de vector magnético" en el borde y es un potencial escalar.
- Otro ejemplo es el operador de Dirac en un gráfico que es un operador de valores matriciales que actúa sobre funciones de valores vectoriales que describen la mecánica cuántica de partículas con un momento angular intrínseco de la mitad, como el electrón .
- El operador de Dirichlet a Neumann en un gráfico es un operador pseudo-diferencial que surge en el estudio de cristales fotónicos .
Teoremas
Todas las condiciones de coincidencia autoadjuntos del operador de Laplace en un gráfico se pueden clasificar de acuerdo con un esquema de Kostrykin y Schrader. En la práctica, a menudo es más conveniente adoptar un formalismo introducido por Kuchment, ver, [3] que automáticamente produce un operador en forma variacional.
Dejar ser un vértice con bordes que emanan de ella. Por simplicidad, elegimos las coordenadas en los bordes para que se encuentra en para cada reunión de borde en . Para una función en el gráfico deja
Condiciones coincidentes en se puede especificar mediante un par de matrices y a través de la ecuación lineal,
Las condiciones coincidentes definen un operador autoadjunto si tiene el rango máximo y
El espectro del operador de Laplace en un gráfico finito se puede describir convenientemente utilizando un enfoque de matriz de dispersión introducido por Kottos y Smilansky. [4] [5] El problema del valor propio en un borde es,
Entonces, una solución en el borde se puede escribir como una combinación lineal de ondas planas .
donde en una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es el coeficiente de la onda plana saliente en y coeficiente de la onda plana entrante en . Las condiciones coincidentes en definir una matriz de dispersión
La matriz de dispersión relaciona los vectores de los coeficientes de onda plana entrantes y salientes en , . Para condiciones de coincidencia autoadjuntases unitario. Un elemento de de es una amplitud de transición compleja desde un borde dirigido hasta el borde que en general depende de . Sin embargo, para una gran clase de condiciones de coincidencia, la matriz S es independiente de. Con condiciones de coincidencia de Neumann, por ejemplo
Sustituyendo en la ecuación por produce -amplitudes de transición independientes
dónde es la función delta de Kronecker que es uno si y cero en caso contrario. A partir de las amplitudes de transición podemos definir un matriz
se denomina matriz de dispersión de enlaces y se puede considerar como un operador de evolución cuántica en el gráfico. Es unitario y actúa sobre el vector de coeficientes de onda plana para el gráfico donde es el coeficiente de la onda plana que viaja desde a . La fase es la fase que adquiere la onda plana cuando se propaga desde el vértice al vértice .
Condición de cuantificación: una función propia en el gráfico se puede definir a través de sucoeficientes de onda plana. Como la función propia es estacionaria bajo la evolución cuántica, se puede escribir una condición de cuantificación para el gráfico utilizando el operador de evolución.
Autovalores ocurren en valores de donde la matriz tiene un valor propio. Ordenaremos el espectro con.
La primera fórmula de trazas para un gráfico fue derivada por Roth (1983). En 1997, Kottos y Smilansky utilizaron la condición de cuantificación anterior para obtener la siguiente fórmula de trazas para el operador de Laplace en un gráfico cuando las amplitudes de transición son independientes de. La fórmula de la traza vincula el espectro con órbitas periódicas en el gráfico.
se llama densidad de estados. El lado derecho de la fórmula de la traza se compone de dos términos, el término de Weyl es la separación media de los valores propios y la parte oscilante es una suma de todas las órbitas periódicas en el gráfico. es la longitud de la órbita y es la longitud total del gráfico. Para una órbita generada por la repetición de una órbita primitiva más corta, cuenta el número de reparticiones. es el producto de las amplitudes de transición en los vértices del gráfico alrededor de la órbita.
Aplicaciones
Los gráficos cuánticos se emplearon por primera vez en la década de 1930 para modelar el espectro de electrones libres en moléculas orgánicas como el naftaleno , ver figura. Como primera aproximación, los átomos se toman como vértices, mientras que los electrones σ forman enlaces que fijan un marco con la forma de la molécula en la que están confinados los electrones libres.
Aparece un problema similar al considerar las guías de ondas cuánticas. Estos son sistemas mesoscópicos, sistemas construidos con un ancho en la escala de nanómetros. Una guía de ondas cuántica se puede considerar como un gráfico engordado donde los bordes son tubos delgados. El espectro del operador de Laplace en este dominio converge al espectro del operador de Laplace en el gráfico bajo ciertas condiciones. La comprensión de los sistemas mesoscópicos juega un papel importante en el campo de la nanotecnología .
En 1997 [6] Kottos y Smilansky propusieron los gráficos cuánticos como modelo para estudiar el caos cuántico , la mecánica cuántica de los sistemas que son clásicamente caóticos. El movimiento clásico en el gráfico se puede definir como una cadena de Markov probabilística donde la probabilidad de dispersión desde el borde al borde viene dado por el valor absoluto de la amplitud de la transición cuántica al cuadrado, . Para casi todos los gráficos cuánticos conectados finitos, la dinámica probabilística es ergódica y mixta, en otras palabras, caótica.
Los gráficos cuánticos incrustados en dos o tres dimensiones aparecen en el estudio de los cristales fotónicos . [7] En dos dimensiones, un modelo simple de un cristal fotónico consiste en celdas poligonales de un dieléctrico denso con interfaces estrechas entre las celdas llenas de aire. El estudio de modos dieléctricos que permanecen principalmente en el dieléctrico da lugar a un operador pseudo-diferencial en el gráfico que sigue las interfaces estrechas.
Gráficos cuánticos periódicos como la celosía en Son modelos comunes de sistemas periódicos y se han aplicado gráficos cuánticos para estudiar los fenómenos de localización de Anderson donde ocurren estados localizados en el borde de bandas espectrales en presencia de desorden.
Ver también
- Schild's Ladder , una novela que trata sobre una teoría ficticia de grafos cuánticos
- Diagrama de Feynman
Referencias
- ↑ Berkolaiko, Gregory; Carlson, Robert; Kuchment, Peter; Fulling, Stephen (2006). Gráficos cuánticos y sus aplicaciones (matemáticas contemporáneas): Actas de una conferencia conjunta de investigación de verano AMS-IMS-SIAM sobre gráficos cuánticos y sus aplicaciones . 415 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821837658.
- ^ Freedman, Michael; Lovász, László; Schrijver, Alexander (2007). "Positividad de reflexión, conectividad de rango y homomorfismo de gráficos". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 20 (01): 37–52. arXiv : matemáticas / 0404468 . doi : 10.1090 / S0894-0347-06-00529-7 . ISSN 0894-0347 . Señor 2257396 .
- ^ Kuchment, Peter (2004). "Gráficos cuánticos: I. Algunas estructuras básicas". Ondas en medios aleatorios . 14 (1): S107 – S128. doi : 10.1088 / 0959-7174 / 14/1/014 . ISSN 0959-7174 .
- ^ Kottos, Tsampikos; Smilansky, Uzy (1999). "Teoría de la órbita periódica y estadísticas espectrales para gráficos cuánticos". Annals of Physics . 274 (1): 76-124. doi : 10.1006 / aphy.1999.5904 . ISSN 0003-4916 .
- ^ Gnutzmann∥, Sven; Smilansky, Uzy (2006). "Gráficos cuánticos: aplicaciones al caos cuántico y estadística espectral universal". Avances en Física . 55 (5–6): 527–625. arXiv : nlin / 0605028 . doi : 10.1080 / 00018730600908042 . ISSN 0001-8732 .
- ^ Kottos, Tsampikos; Smilansky, Uzy (1997). "Caos cuántico en gráficos". Cartas de revisión física . 79 (24): 4794–4797. doi : 10.1103 / PhysRevLett.79.4794 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Kuchment, Peter; Kunyansky, Leonid (2002). "Operadores diferenciales en gráficos y cristales fotónicos". Avances en Matemática Computacional . 16 (24): 263–290. doi : 10.1023 / A: 1014481629504 .