En la teoría cuántica de campos , una interacción cuártica es un tipo de auto-interacción en un campo escalar . Se pueden encontrar otros tipos de interacciones cuarticas bajo el tema de interacciones de cuatro fermiones . Un campo escalar libre clásicosatisface la ecuación de Klein-Gordon . Si se denota un campo escalar, una interacción cuártica se representa agregando un término potenciala la densidad de Lagrange . La constante de acoplamiento es adimensional en el espacio - tiempo de 4 dimensiones .
Este artículo utiliza el firma métrica para el espacio de Minkowski .
El lagrangiano para un campo escalar real
La densidad lagrangiana para un campo escalar real con una interacción cuártica es
Este lagrangiano tiene un mapeo de simetría Z 2 global.
El lagrangiano para un campo escalar complejo
El lagrangiano para un campo escalar complejo se puede motivar de la siguiente manera. Para dos campos escalares y el lagrangiano tiene la forma
que se puede escribir de forma más concisa introduciendo un campo escalar complejo definido como
Expresado en términos de este campo escalar, el lagrangiano anterior se convierte en
que es, por tanto, equivalente al modelo SO (2) de campos escalares reales , como puede verse al expandir el campo complejo en partes reales e imaginarias.
Con campos escalares reales, podemos tener un modelo con una simetría SO (N) global dada por el Lagrangiano
La expansión del campo complejo en partes reales e imaginarias muestra que es equivalente al modelo SO (2) de campos escalares reales.
En todos los modelos anteriores, la constante de acoplamiento debe ser positivo, ya que, de lo contrario, el potencial sería ilimitado por debajo y no habría un vacío estable. Además, la integral de ruta de Feynman que se analiza a continuación estaría mal definida. En 4 dimensiones,las teorías tienen un polo Landau . Esto significa que sin un límite en la escala de alta energía, la renormalización haría que la teoría fuera trivial .
Cuantización integral de Feynman
La expansión del diagrama de Feynman también se puede obtener a partir de la formulación de la integral de trayectoria de Feynman . [1] Los valores de expectativa de vacío ordenados en el tiempo de los polinomios en φ, conocidos como las funciones de Green de n- partículas, se construyen integrando todos los campos posibles, normalizados por el valor de expectativa de vacío sin campos externos,
Todas estas funciones de Green se pueden obtener expandiendo el exponencial en J ( x ) φ ( x ) en la función generadora
Se puede aplicar una rotación de Wick para hacer que el tiempo sea imaginario. Cambiar la firma a (++++) luego da una integral de mecánica estadística de φ 4 sobre un espacio euclidiano de 4 dimensiones ,
Normalmente, esto se aplica a la dispersión de partículas con momentos fijos, en cuyo caso, una transformada de Fourier es útil, dando en su lugar
dónde es la función delta de Dirac .
El truco estándar para evaluar esta integral funcional es escribirla como un producto de factores exponenciales, esquemáticamente,
Los segundos dos factores exponenciales se pueden expandir como series de potencias, y la combinatoria de esta expansión se puede representar gráficamente. La integral con λ = 0 puede tratarse como un producto de un número infinito de integrales gaussianas elementales, y el resultado puede expresarse como una suma de diagramas de Feynman , calculados utilizando las siguientes reglas de Feynman:
- Cada campo en el n- point Euclidean Green la función está representada por una línea externa (medio borde) en el gráfico, y asociada con el impulso p .
- Cada vértice está representado por un factor -λ .
- En un orden dado λ k , todos los diagramas con n líneas externas y k vértices se construyen de manera que los momentos que fluyen hacia cada vértice sean cero. Cada línea interna está representada por un factor 1 / ( q 2 + m 2 ), donde q es el impulso que fluye a través de esa línea.
- Cualquier momento sin restricciones se integra en todos los valores.
- El resultado se divide por un factor de simetría, que es el número de formas en que las líneas y los vértices del gráfico se pueden reorganizar sin cambiar su conectividad.
- No incluya gráficos que contengan "burbujas de vacío", subgrafos conectados sin líneas externas.
La última regla tiene en cuenta el efecto de dividir por . Las reglas de Feynman del espacio de Minkowski son similares, excepto que cada vértice está representado por, mientras que cada línea interna está representada por un factor i / ( q 2 - m 2 + i ε ), donde el término ε representa la pequeña rotación de Wick necesaria para hacer converger la integral gaussiana del espacio de Minkowski.
Renormalización
Las integrales sobre momentos no restringidos, llamadas "integrales de bucle", en los gráficos de Feynman suelen divergir. Esto normalmente se maneja por renormalización , que es un procedimiento de agregar contra-términos divergentes al Lagrangiano de tal manera que los diagramas construidos a partir del Lagrangiano original y los contraterminos son finitos. [2] Se debe introducir una escala de renormalización en el proceso, y la constante de acoplamiento y la masa se vuelven dependientes de ella. Es esta dependencia la que conduce al polo Landau mencionado anteriormente, y requiere que el límite se mantenga finito. Alternativamente, si se permite que el corte vaya al infinito, el polo Landau puede evitarse solo si el acoplamiento renormalizado llega a cero, lo que hace que la teoría sea trivial . [3]
Ruptura espontánea de la simetría
Una característica interesante puede ocurrir si m 2 se vuelve negativo, pero con λ todavía positivo. En este caso, el vacío consta de dos estados de menor energía, cada uno de los cuales rompe espontáneamente la simetría global Z 2 de la teoría original. Esto conduce a la aparición de estados colectivos interesantes como muros de dominio . En la teoría O (2), el vacío estaría en un círculo y la elección de uno rompería espontáneamente la simetría O (2). Una simetría rota continua conduce a un bosón de Goldstone . Este tipo de ruptura espontánea de la simetría es el componente esencial del mecanismo de Higgs . [4]
Ruptura espontánea de simetrías discretas
El sistema relativista más simple en el que podemos ver la ruptura espontánea de la simetría es uno con un solo campo escalar. con lagrangiano
dónde y
Minimizar el potencial con respecto a lleva a
Ahora ampliamos el campo en torno a esta escritura mínima.
y sustituyendo en el lagrangiano obtenemos
donde notamos que el escalar tiene ahora un término de masa positivo .
Pensar en términos de valores de expectativa de vacío nos permite comprender qué le sucede a una simetría cuando se rompe espontáneamente. El lagrangiano original era invariante bajo el simetría . Desde
son ambos mínimos, debe haber dos vacíos diferentes: con
Desde el la simetría toma , debe tomar también. Los dos posibles vacíos de la teoría son equivalentes, pero hay que elegir uno. Aunque parece que en el nuevo lagrangiano la La simetría ha desaparecido, todavía está allí, pero ahora actúa como Esta es una característica general de las simetrías rotas espontáneamente: el vacío las rompe, pero en realidad no se rompen en el lagrangiano, simplemente se ocultan y, a menudo, se realizan solo de manera no lineal. [5]
Soluciones exactas
Existe un conjunto de soluciones clásicas exactas a la ecuación de movimiento de la teoría escrita en la forma
que se puede escribir para los sin masa, caso como [6]
con una función elíptica de Jacobi y dos constantes de integración, siempre la siguiente relación de dispersión tiene
El punto interesante es que comenzamos con una ecuación sin masa, pero la solución exacta describe una onda con una relación de dispersión propia de una solución masiva. Cuando el término de masa no es cero, se obtiene
siendo ahora la relación de dispersión
Finalmente, para el caso de una simetría que se rompe uno tiene
ser y la siguiente relación de dispersión se mantiene
Estas soluciones de onda son interesantes ya que, a pesar de que comenzamos con una ecuación con un signo de masa incorrecto, la relación de dispersión tiene la correcta. Además, la función de Jacobi no tiene ceros reales, por lo que el campo nunca es cero, sino que se mueve alrededor de un valor constante dado que se elige inicialmente para describir una ruptura espontánea de la simetría.
Se puede proporcionar una prueba de unicidad si observamos que la solución se puede buscar en la forma ser . Entonces, la ecuación diferencial parcial se convierte en una ecuación diferencial ordinaria que es la que define la función elíptica de Jacobi con satisfaciendo la relación de dispersión adecuada.
Ver también
- Teoría del campo escalar
- Trivialidad cuántica
- Poste Landau
- Renormalización
- Mecanismo de Higgs
- Bosón de Goldstone
Referencias
- ↑ Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (21/12/2001). Teoría de campo: una introducción moderna (segunda edición) . Estados Unidos: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3..
- ^ Consulte la referencia anterior, o para obtener más detalles, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (24 de febrero de 2006). Teoría cuántica de campos . Dover..
- ^ DJE Callaway (1988). "Búsqueda de trivialidad: ¿pueden existir partículas escalares elementales?". Informes de física . 167 (5): 241–320. Código bibliográfico : 1988PhR ... 167..241C . doi : 10.1016 / 0370-1573 (88) 90008-7 .
- ↑ Se puede encontrar una descripción básica de la ruptura espontánea de la simetría en las dos referencias anteriores o en la mayoría de los otros libros de teoría cuántica de campos.
- ^ Schwartz, Teoría cuántica de campos y el modelo estándar, Capítulo 28.1
- ^ Marco Frasca (2011). "Soluciones exactas de ecuaciones de campo escalares clásicas". Revista de física matemática no lineal . 18 (2): 291-297. arXiv : 0907.4053 . Código bibliográfico : 2011JNMP ... 18..291F . doi : 10.1142 / S1402925111001441 .
Otras lecturas
- 't Hooft, G. , "The Conceptual Basis of Quantum Field Theory" ( versión en línea ).
- Bazghandi, Mustafa (agosto de 2019). "Simetrías de mentira y soluciones de similitud de ecuación phi-four". Revista India de Matemáticas . 61 (2): 187-197.