Campo casi algebraicamente cerrado
En matemáticas , un campo F se llama casi algebraicamente cerrado (o C 1 ) si cada polinomio homogéneo no constante P sobre F tiene un cero no trivial siempre que el número de sus variables sea mayor que su grado. La idea de campos casi algebraicamente cerrados fue investigada por CC Tsen , un estudiante de Emmy Noether , en un artículo de 1936 ( Tsen 1936 ); y más tarde por Serge Lang en su disertación de la Universidad de Princeton de 1951 y en su artículo de 1952 ( Lang 1952 ). La idea en sí se atribuye al asesor de Lang.Emil Artin .
En el lenguaje geométrico, la hipersuperficie definido por P , en espacio proyectivo de grado N - 2, a continuación, tiene un punto sobre F .
Los campos casi algebraicamente cerrados también se denominan C 1 . Un campo C k , más generalmente, es uno para el cual cualquier polinomio homogéneo de grado d en N variables tiene un cero no trivial, siempre que
para k ≥ 1. [11] Lang introdujo y estudió por primera vez la afección. [10] Si un campo es C i, entonces también lo es una extensión finita. [11] [12] Los campos C 0 son precisamente los campos algebraicamente cerrados. [13] [14]
Lang y Nagata demostraron que si un campo es C k , entonces cualquier extensión del grado de trascendencia n es C k + n . [15] [16] [17] El más pequeño k tal que K es un C k campo ( si no existe tal número), se llama la dimensión diophantine dd ( K ) de K . [13]
Artin conjeturó que los campos p -ádicos eran C 2 , pero Guy Terjanian encontró contraejemplos p -ádicos para todos los p . [18] [19] El teorema de Ax-Kochen aplicó métodos de la teoría de modelos para demostrar que la conjetura de Artin era cierta para Q p con p lo suficientemente grande (dependiendo de d ).