El teorema de Ax-Kochen , llamado así por James Ax y Simon B. Kochen , establece que para cada entero positivo d hay un conjunto finito Y d de números primos, de modo que si p es cualquier primo que no esté en Y d, entonces cada polinomio homogéneo de El grado d sobre los números p-ádicos en al menos d 2 + 1 variables tiene un cero no trivial. [1]
La prueba del teorema
La demostración del teorema hace un uso extensivo de métodos de la lógica matemática , como la teoría de modelos .
Primero se prueba el teorema de Serge Lang , afirmando que el teorema análogo es verdadero para el campo F p (( t )) de la serie formal de Laurent sobre un campo finito F p con. En otras palabras, todo polinomio homogéneo de grado d con más de d 2 variables tiene un cero no trivial (por lo que F p (( t )) es un campo C 2 ).
Luego, se muestra que si dos campos con valores henselianos tienen grupos de valoración y campos de residuos equivalentes, y los campos de residuos tienen la característica 0, entonces son elementalmente equivalentes (lo que significa que una oración de primer orden es verdadera para uno si y solo si es verdadera para el otro).
A continuación, se aplica esto a dos campos, uno dado por un ultraproducto sobre todos los primos de los campos F p (( t )) y el otro dado por un ultraproducto sobre todos los primos de los campos p -ádicos Q p . Ambos campos de residuos están dados por un ultraproducto sobre los campos F p , por lo que son isomorfos y tienen la característica 0, y ambos grupos de valores son iguales, por lo que los ultraproductos son elementalmente equivalentes. (La toma de ultraproductos se usa para forzar que el campo de residuos tenga la característica 0; los campos de residuos de F p (( t )) y Q p tienen una característica p distinta de cero ) .
La equivalencia elemental de estos ultraproductos implica que para cualquier oración en el lenguaje de campos valorados, existe un conjunto finito Y de primos excepcionales, de modo que para cualquier p que no esté en este conjunto la oración es verdadera para F p (( t )) si y solo si es cierto para el campo de los números p -ádicos. Aplicando esto a la oración que indica que todo polinomio homogéneo no constante de grado d en al menos d 2 +1 variables representa 0, y usando el teorema de Lang, se obtiene el teorema de Ax-Kochen.
Prueba alternativa
Jan Denef encontró una prueba puramente geométrica para una conjetura de Jean-Louis Colliot-Thélène que generaliza el teorema de Ax-Kochen. [2] [3]
Primos excepcionales
Emil Artin conjeturó este teorema con el conjunto excepcional finito Y d vacío (es decir, que todos los campos p -ádicos son C 2 ), pero Guy Terjanian [4] encontró el siguiente contraejemplo 2-ádico para d = 4. Defina
Entonces G tiene la propiedad de que es 1 mod 4 si alguna x es impar, y 0 mod 16 en caso contrario. De esto se deduce fácilmente que la forma homogénea
- G ( x ) + G ( y ) + G ( z ) + 4 G ( u ) + 4 G ( v ) + 4 G ( w )
de grado d = 4 en 18> d 2 variables no tiene ceros no triviales sobre los enteros 2-ádicos.
Posteriormente Terjanian [5] mostró que para cada primo py múltiplo d > 2 de p ( p - 1), hay una forma sobre los p -números ádicos de grado d con más de d 2 variables pero sin ceros no triviales. En otras palabras, para todo d > 2, Y d contiene todos los primos p tales que p ( p - 1) divide a d .
Brown (1978) dio una cota explícita pero muy grande para el excepcional conjunto de primos p . Si el grado d es 1, 2 o 3, el conjunto excepcional está vacío. Heath-Brown (2010) mostró que si d = 5 el conjunto excepcional está limitado por 13, y Wooley (2008) mostró que para d = 7 el conjunto excepcional está limitado por 883 y para d = 11 está limitado por 8053.
Ver también
Notas
- ^ James Axe y Simon Kochen, Problemas diofánticos sobre campos locales I. , American Journal of Mathematics, 87 , páginas 605-630, (1965)
- ^ Denef, enero. "Prueba de una conjetura de Colliot-Thélène" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 11 de abril de 2017.
- ^ Denef, Jan (2016), Demostraciones geométricas de los teoremas de Ax – Kochen y Ersov , arXiv : 1601.03607 , Bibcode : 2016arXiv160103607D
- ^ Terjanian, Guy (1966). "Un contre-example à une conjecture d'Artin". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB (en francés). 262 : A612. Zbl 0133.29705 .
- ^ Guy Terjanian, Formes p -adiques anisotropes. (Francés) Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 313 (1980), páginas 217–220
Referencias
- Brown, Scott Shorey (1978), "Límites sobre los principios de transferencia para campos algebraicamente cerrados y completos con valores discretos" , Memorias de la American Mathematical Society , 15 (204), doi : 10.1090 / memo / 0204 , ISBN 978-0-8218-2204-3, ISSN 0065-9266 , MR 0494980
- Chang, CC; Keisler, H. Jerome (1989). Model Theory (tercera ed.). Elsevier . ISBN 978-0-7204-0692-4. (Corolario 5.4.19)
- Heath-Brown, DR (2010), "Ceros de formas p-ádicas", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 100 (2): 560–584, arXiv : 0805.0534 , doi : 10.1112 / plms / pdp043 , ISSN 0024-6115 , MR 2595750
- Wooley, Trevor D. (2008), "Conjetura de Artin para formas sépticas y unidécicas", Acta Arithmetica , 133 (1): 25–35, Bibcode : 2008AcAri.133 ... 25W , doi : 10.4064 / aa133-1-2 , ISSN 0065-1036 , MR 2413363