En matemáticas , una clase cuasi-analítica de funciones es una generalización de la clase de funciones analíticas reales basada en el siguiente hecho: Si f es una función analítica en un intervalo [ a , b ] ⊂ R , y en algún punto f y todos de sus derivadas son cero, entonces f es idénticamente cero en todo [ a , b ]. Las clases cuasi analíticas son clases más amplias de funciones para las que esta afirmación todavía es válida.
Definiciones
Dejar ser una secuencia de números reales positivos. Entonces la clase de funciones Denjoy-Carleman C M ([ a , b ]) se define como aquellas f ∈ C ∞ ([ a , b ]) que satisfacen
para todo x ∈ [ a , b ], alguna constante A y todos los enteros no negativos k . Si M k = 1, esta es exactamente la clase de funciones analíticas reales en [ a , b ].
Se dice que la clase C M ([ a , b ]) es cuasi analítica si siempre que f ∈ C M ([ a , b ]) y
para algún punto x ∈ [ a , b ] y todo k , entonces f es idénticamente igual a cero.
Una función f se llama función cuasi analítica si f pertenece a alguna clase cuasi analítica.
Funciones cuasianalíticas de varias variables
Para una función y multi-índices , denotar , y
y
Luego se llama cuasi-analítico en el conjunto abierto si por cada compacto hay una constante tal que
para todos los índices múltiples y todos los puntos .
La clase de funciones de Denjoy-Carleman de variables con respecto a la secuencia En el set puede ser denotado , aunque abundan otras notaciones.
La clase Denjoy-Carleman Se dice que es cuasi-analítico cuando la única función en él que tiene todas sus derivadas parciales iguales a cero en un punto es la función idénticamente igual a cero.
Se dice que una función de varias variables es cuasi analítica cuando pertenece a una clase cuasi analítica de Denjoy-Carleman.
Clases cuasianalíticas con respecto a secuencias logarítmicamente convexas
En las definiciones anteriores es posible suponer que y que la secuencia no es decreciente.
La secuencia se dice que es logarítmicamente convexo , si
- esta incrementando.
Cuándo es logarítmicamente convexo, entonces está aumentando y
- para todos .
La clase cuasi analítica con respecto a una secuencia logarítmicamente convexa satisface:
- es un anillo. En particular, se cierra con multiplicación.
- está cerrado bajo composición. Específicamente, si y , luego .
El teorema de Denjoy-Carleman
El teorema de Denjoy-Carleman, probado por Carleman (1926) después de que Denjoy (1921) dio algunos resultados parciales, da criterios sobre la secuencia M bajo la cual C M ([ a , b ]) es una clase cuasi analítica. Establece que las siguientes condiciones son equivalentes:
- C M ([ a , b ]) es cuasi analítico.
- dónde .
- , donde M j * es la secuencia logarítmica convexa más grande acotada arriba por M j .
La prueba de que las dos últimas condiciones son equivalentes a la segunda usa la desigualdad de Carleman .
Ejemplo: Denjoy (1921) señaló que si M n está dado por una de las secuencias
entonces la clase correspondiente es cuasi analítica. La primera secuencia da funciones analíticas.
Propiedades adicionales
Para una secuencia logarítmicamente convexa se cumplen las siguientes propiedades de la clase de funciones correspondiente:
- contiene las funciones analíticas, y es igual a ella si y sólo si
- Si es otra secuencia logarítmicamente convexa, con por alguna constante , luego .
- es estable bajo diferenciación si y solo si .
- Para cualquier función infinitamente diferenciable hay anillos cuasi analíticos y y elementos , y , tal que .
División de Weierstrass
Una función se dice que es regular de orden con respecto a Si y . Dado regular de orden con respecto a , un anillo de funciones reales o complejas de Se dice que las variables satisfacen la división de Weierstrass con respecto a si por cada hay , y tal que
- con .
Si bien el anillo de funciones analíticas y el anillo de series de poder formales satisfacen la propiedad de división de Weierstrass, no ocurre lo mismo con otras clases cuasi analíticas.
Si es logarítmicamente convexo y no es igual a la clase de función analítica, entonces no satisface la propiedad de la división de Weierstrass con respecto a .
Referencias
- Carleman, T. (1926), Les fonctions cuasi-analytiques , Gauthier-Villars
- Cohen, Paul J. (1968), "Una prueba simple del teorema de Denjoy-Carleman", The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 75 (1): 26–31, doi : 10.2307 / 2315100 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2315100 , MR 0225957
- Denjoy, A. (1921), "Sur les fonctions cuasi-analytiques de variable réelle", CR Acad. Sci. París , 173 : 1329-1331
- Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
- Leont'ev, AF (2001) [1994], "Clase cuasi-analítica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Teorema de Carleman" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press