Ecuación de Beltrami

No confundir con la ecuación de Laplace-Beltrami .

En matemáticas , la ecuación de Beltrami , llamada así por Eugenio Beltrami , es la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}.}$

para w una distribución compleja de la variable compleja z en algún conjunto abierto U , con derivadas que son localmente L ² , y donde μ es una función compleja dada en L ^∞ ( U ) de norma menor que 1, llamado coeficiente de Beltrami . Clásicamente, esta ecuación diferencial fue utilizada por Gauss para probar la existencia local de coordenadas isotérmicas en una superficie con métrica analítica de Riemann. Se han desarrollado varias técnicas para resolver la ecuación. El más poderoso, desarrollado en la década de 1950, proporciona soluciones globales de la ecuación en Cy se basa en la teoría L ^p de la transformada de Beurling , un operador integral singular definido en L ^p ( C ) para todo 1 < p <∞. El mismo método se aplica igualmente bien en el disco unitario y en el semiplano superior y juega un papel fundamental en la teoría de Teichmüller y la teoría de los mapeos cuasiconformales . Se pueden demostrar varios teoremas de uniformización usando la ecuación, incluido el teorema de mapeo de Riemann medible y el teorema de uniformización simultánea . La existencia de soldaduras conformadas.también se puede derivar utilizando la ecuación de Beltrami. Una de las aplicaciones más simples es el teorema de mapeo de Riemann para dominios abiertos limitados simplemente conectados en el plano complejo. Cuando el dominio tiene un límite suave, la regularidad elíptica de la ecuación se puede usar para mostrar que el mapa de uniformización desde el disco unitario al dominio se extiende a una función C ^∞ desde el disco cerrado hasta el cierre del dominio.

Métricas en dominios planos

Considere una variedad Riemanniana bidimensional , digamos con un sistema de coordenadas ( x , y ). Las curvas de constante x en esa superficie normalmente no intersecan las curvas de constante y ortogonalmente. Un nuevo sistema de coordenadas ( u , v ) se llama isotérmico cuando las curvas de la constante u intersecan las curvas de la constante v ortogonalmente y, además, el espaciado de los parámetros es el mismo, es decir, para h lo suficientemente pequeño , la pequeña región con y${\displaystyle a\leq u\leq a+h}$${\displaystyle b\leq v\leq b+h}$es casi cuadrado, no solo casi rectangular. La ecuación de Beltrami es la ecuación que debe resolverse para construir sistemas de coordenadas isotérmicos.

Para ver cómo funciona esto, sea S un conjunto abierto en C y deje

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}}$

ser una métrica suave g en S . La primera forma fundamental de g

${\displaystyle \displaystyle g(x,y)={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}$

es una matriz real positivo ( E > 0, G > 0, EG - F ² > 0) que varía suavemente con x y y .

El coeficiente de Beltrami de la métrica g se define como

${\displaystyle \displaystyle \mu (x,y)={E-G+2iF \over E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}$

Este coeficiente tiene un módulo estrictamente menor que uno desde la identidad

${\displaystyle \displaystyle (E-G+2iF)(E-G-2iF)=(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}})(E+G-2{\sqrt {EG-F^{2}}})}$

implica que

${\displaystyle \displaystyle |\mu |^{2}={E+G-2{\sqrt {EG-F^{2}}} \over E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}<1.}$

Deje que f ( x , y ) = ( u ( x , y ), v ( x , y )) ser un difeomorfismo suave de S en otro conjunto abierto T en C . El mapa f conserva la orientación solo cuando su jacobiano es positivo:

${\displaystyle \displaystyle u_{x}v_{y}-v_{x}u_{y}>0.}$

Y usando f para retroceder a S la métrica euclidiana estándar ds ² = du ² + dv ² en T induce una métrica en S dada por

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=du^{2}+dv^{2}=(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})\,dx^{2}+2(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})\,dx\,dy+(u_{y}^{2}+v_{y}^{2})\,dy^{2},}$

una métrica cuya primera forma fundamental es

${\displaystyle \displaystyle {\begin{pmatrix}u_{x}^{2}+v_{x}^{2}&u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y}\\u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y}&u_{y}^{2}+v_{y}^{2}\end{pmatrix}}.}$

Cuando f tanto en orientación conservas e induce una métrica que difiere de la métrica original de g solamente por un positivo, que varía suavemente factor de escala r ( x , y ), las nuevas coordenadas U y V definidas en S por f se denominan coordenadas isotérmicas .

Para determinar cuándo sucede esto, reinterpretamos f como una función de valor complejo de una variable compleja f ( x + i y ) = u ( x + i y ) + i v ( x + i y ) para que podamos aplicar el Wirtinger derivados :

${\displaystyle \displaystyle \partial _{z}={1 \over 2}(\partial _{x}-i\partial _{y}),\,\,\partial _{\overline {z}}={1 \over 2}(\partial _{x}+i\partial _{y});\,\,\,\,dz=dx+i\,dy,\,\,d{\overline {z}}=dx-i\,dy.}$

Ya que

${\displaystyle \displaystyle f_{z}=((u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y}))/2}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\overline {z}}=((u_{x}-v_{y})+i(v_{x}+u_{y}))/2,}$

la métrica inducida por f está dada por

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=|f_{z}\,dz+f_{\overline {z}}d{\overline {z}}|^{2}=|f_{z}|^{2}\,\left|dz+{f_{\overline {z}} \over f_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2}.}$

El cociente de Beltrami de esta métrica inducida se define como .${\displaystyle f_{\overline {z}}/f_{z}}$

El cociente de Beltrami de es igual al coeficiente de Beltrami de la métrica original g justo cuando${\displaystyle f_{\overline {z}}/f_{z}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu (z)}$

${\displaystyle \displaystyle ((u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y})){\bigl (}E-G+2iF{\bigr )}}$

${\displaystyle =((u_{x}-v_{y})+i(v_{x}+u_{y})){\bigl (}E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}{\bigr )}.}$

Las partes real e imaginaria de esta identidad se relacionan linealmente y y resolviendo para y da${\displaystyle u_{x},}$ ${\displaystyle u_{y},}$ ${\displaystyle v_{x},}$${\displaystyle v_{y},}$${\displaystyle u_{y}}$${\displaystyle v_{y}}$

${\displaystyle \displaystyle u_{y}={\frac {Fu_{x}-{\sqrt {EG-F^{2}}}\,v_{x}}{E}}\quad {\text{and}}\quad v_{y}={\frac {{\sqrt {EG-F^{2}}}\,u_{x}+Fv_{x}}{E}}.}$

Se deduce que la métrica inducida por f es entonces r ( x , y ) g ( x , y ), donde lo que es positivo, mientras que el jacobiano de f es entonces que también es positivo. Entonces, cuando el nuevo sistema de coordenadas dado por f es isotérmico.${\displaystyle r=(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})/E,}$${\displaystyle r{\sqrt {EG-F^{2}}},}$${\displaystyle f_{\overline {z}}/f_{z}=\mu (z),}$

Por el contrario, considere un difeomorfismo f que nos da coordenadas isotérmicas. Entonces tenemos

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={\frac {(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})-(u_{y}+v_{y})^{2}+2i(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})}{(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})+(u_{y}^{2}+v_{y})^{2}+2{\sqrt {(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})(u_{y}^{2}+v_{y}^{2})-(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})^{2}}}}},}$

donde el factor de escala r ( x , y ) se ha eliminado y la expresión dentro de la raíz cuadrada es el cuadrado perfecto. Dado que f debe conservar la orientación para dar coordenadas isotérmicas, el jacobiano es la raíz cuadrada positiva; entonces tenemos${\displaystyle u_{x}^{2}v_{y}^{2}-2u_{x}v_{x}u_{y}v_{y}+v_{x}^{2}u_{y}^{2}.}$${\displaystyle u_{x}v_{y}-v_{x}u_{y}}$

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={\frac {{\bigl (}(u_{x}+iu_{y})+i(v_{x}+iv_{y}){\bigr )}{\bigl (}(u_{x}+iu_{y})-i(v_{x}+iv_{y}){\bigr )}}{{\bigl (}(u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y}){\bigr )}{\bigl (}(u_{x}+v_{y})-i(v_{x}-u_{y}){\bigr )}}}.}$

Los factores de la derecha en el numerador y el denominador son iguales y, dado que el jacobiano es positivo, su valor común no puede ser cero; asi que${\displaystyle \mu (z)=f_{\overline {z}}/f_{z}.}$

Por lo tanto, el sistema de coordenadas local dado por un difeomorfismo f es isotérmico justo cuando f resuelve la ecuación de Beltrami para${\displaystyle \mu (z).}$

Coordenadas isotérmicas para métricas analíticas

Gauss demostró la existencia de coordenadas isotérmicas localmente en el caso analítico al reducir Beltrami a una ecuación diferencial ordinaria en el dominio complejo. ^[1] Aquí hay una presentación de libro de cocina de la técnica de Gauss.

Un sistema de coordenadas isotérmicas, digamos en una vecindad del origen ( x , y ) = (0, 0), está dado por las partes real e imaginaria de una función de valor complejo f ( x , y ) que satisface

${\displaystyle \displaystyle {f_{\overline {z}} \over f_{z}}=\mu (z)={\frac {E-G+2iF}{E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}.}$

Sea tal función, y sea ​​una función de valor complejo de una variable compleja que es holomórfica y cuya derivada no es cero en ninguna parte. Dado que cualquier función holomórfica tiene idénticamente cero, tenemos${\displaystyle f}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi _{\overline {z}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(\psi \circ f)_{\overline {z}}}{(\psi \circ f)_{z}}}&={\frac {(\psi _{z}\circ f)f_{\overline {z}}+(\psi _{\overline {z}}\circ f){\overline {f_{\overline {z}}}}}{(\psi _{z}\circ f)f_{z}+(\psi _{\overline {z}}\circ f){\overline {f_{z}}}}}={\frac {f_{\overline {z}}}{f_{z}}}=\mu (z).\end{aligned}}}$

Por tanto, el sistema de coordenadas dado por las partes real e imaginaria de también es isotérmico. De hecho, si nos fijamos en dar un sistema de coordenadas isotérmicas, entonces todos los posibles sistemas de coordenadas isotérmicas están dados por para los diversos holomorfos con derivada distinta de cero.${\displaystyle \psi \circ f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \psi \circ f}$${\displaystyle \psi }$

Cuando E , F y G son analíticos reales, Gauss construyó un sistema de coordenadas isotérmico particular, el que eligió para todo x . Entonces, el eje u de su sistema de coordenadas isotérmicas coincide con el eje x de las coordenadas originales y está parametrizado de la misma manera. Todos los demás sistemas de coordenadas isotérmicos tienen la forma de una derivada holomórfica con un valor distinto de cero.${\displaystyle h(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),}$${\displaystyle h(x,0)=x}$${\displaystyle \psi \circ h}$${\displaystyle \psi }$

Gauss permite que q ( t ) sea una función de valor complejo de una variable real t que satisface la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

${\displaystyle \displaystyle q'(t)={\frac {-F-i{\sqrt {EG-F^{2}}}}{E}}(q(t),t),}$

donde E , F y G se evalúan aquí en y = t y x = q ( t ). Si especificamos el valor de q ( s ) para algún valor inicial s , esta ecuación diferencial determina los valores de q ( t ) para t menor o mayor que s . Gauss luego define su sistema de coordenadas isotérmicas h estableciendo h ( x , y ) como${\displaystyle q(0)}$a lo largo de la ruta de solución de esa ecuación diferencial que pasa por el punto ( x , y ), y por lo tanto tiene q ( y ) = x .

Esta regla establece que h ( x , 0) sea , ya que la condición inicial es entonces q (0) = x . De manera más general, suponga que nos movemos por un vector infinitesimal ( dx , dy ) lejos de algún punto ( x , y ), donde dx y dy satisfacen${\displaystyle x}$

${\displaystyle \displaystyle E\,dx+(F+i{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)\,dy=0.}$

Dado que , el vector ( dx , dy ) es tangente a la curva solución de la ecuación diferencial que pasa por el punto ( x , y ). Debido a que asumimos que la métrica es analítica, se deduce que${\displaystyle q'(t)=dx/dy}$

${\displaystyle \displaystyle dh=c(x,y){\bigl (}E\,dx+(F+i{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)\,dy{\bigr )}}$

para alguna función suave, de valor complejo, por lo tanto, tenemos${\displaystyle c(x,y)=a(x,y)+ib(x,y).}$

${\displaystyle \displaystyle h_{z}=((aE+bF+a{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)+i(bE-aF+b{\sqrt {EG-F^{2}}}\,))/2}$

${\displaystyle \displaystyle h_{\overline {z}}=((aE-bF-a{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)+i(bE+aF-b{\sqrt {EG-F^{2}}}\,))/2.}$

Formamos el cociente y luego multiplicamos el numerador y el denominador por , que es el conjugado complejo del denominador. Simplificando el resultado, encontramos que${\displaystyle h_{\overline {z}}/h_{z}}$${\displaystyle {\overline {h_{z}}}}$

${\displaystyle \displaystyle {h_{\overline {z}} \over h_{z}}={\frac {(a^{2}+b^{2})E\;(E-G+2iF)}{(a^{2}+b^{2})E\;(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}})}}={\frac {E-G+2iF}{E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}=\mu (z).}$

Por tanto, la función h de Gauss da las coordenadas isotérmicas deseadas.

Solución en L ² para coeficientes de Beltrami suaves

En los casos más simples, la ecuación de Beltrami se puede resolver utilizando solo técnicas espaciales de Hilbert y la transformada de Fourier. El método de demostración es el prototipo para la solución general usando espacios L ^p , aunque Adrien Douady ha indicado un método para manejar el caso general usando solo espacios de Hilbert: el método se basa en la teoría clásica de asignaciones cuasiconformales para establecer estimaciones de Hölder que son automáticas. en la teoría L ^p para p > 2. ^[2] Sea T la transformada de Beurling en L ² ( C ) definida en la transformada de Fourier de una función L ² f como operador de multiplicación:

${\displaystyle \displaystyle {\widehat {Tf}}(z)={{\overline {z}} \over z}{\widehat {f}}(z).}$

Es un operador unitario y si f es una distribución templada en C con derivadas parciales en L ^2, entonces

${\displaystyle \displaystyle T(f_{\overline {z}})=f_{z},}$

donde los subíndices denotan derivadas parciales complejas.

La solución fundamental del operador

${\displaystyle D=\partial _{\overline {z}}}$

está dado por la distribución

${\displaystyle \displaystyle {E(z)={1 \over \pi z},}}$

una función localmente integrable en C . Así, en las funciones de Schwartz f

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{\overline {z}}(E\star f)=f.}}$

Lo mismo vale para las distribuciones de soporte compacto en C . En particular, si f es una función L ² con soporte compacto, entonces su transformada de Cauchy , definida como

${\displaystyle \displaystyle {Cf=E\star f,}}$

es integrable localmente cuadrado. La ecuación anterior se puede escribir

${\displaystyle \displaystyle {(Cf)_{\overline {z}}=f.}}$

Además, aún considerando f y Cf como distribuciones,

${\displaystyle \displaystyle (Cf)_{z}=Tf.}$

De hecho, el operador D se da en las transformadas de Fourier como una multiplicación por iz / 2 y C como una multiplicación por su inverso.

Ahora en la ecuación de Beltrami

${\displaystyle \displaystyle f_{\overline {z}}=\mu f_{z},}$

con μ una función suave de soporte compacto, ajuste

${\displaystyle \displaystyle g(z)=f(z)-z}$

y suponga que las primeras derivadas de g son L ² . Sea h = g _z = f _z - 1. Entonces

${\displaystyle \displaystyle h=g_{z}=T(g_{\overline {z}})=T(f_{\overline {z}})=T(\mu f_{z})=T(\mu h)+T\mu }$

Si A y B son los operadores definidos por

${\displaystyle \displaystyle {AF=T\mu F,\,\,\,\,BF=\mu TF}}$

entonces sus normas de operador son estrictamente menores que 1 y

${\displaystyle \displaystyle {(I-A)h=T\mu .}}$

Por eso

${\displaystyle \displaystyle {h=(I-A)^{-1}T\mu ,\,\,\,T^{*}h=(I-B)^{-1}\mu }}$

donde los lados derechos se pueden ampliar como serie Neumann . Resulta que

${\displaystyle \displaystyle {g_{\overline {z}}=T^{*}h,}}$

tiene el mismo soporte que μ y g . Por tanto, f está dada por

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=CT^{*}h(z)+z.}}$

Ahora se puede usar la regularidad elíptica para deducir que f es suave.

De hecho, fuera del soporte de μ ,

${\displaystyle \displaystyle \partial _{\overline {z}}f=0,}$

por lo que, según el lema de Weyl, f es incluso holomórfica para | z | > R . Dado que f = CT * h + z , se deduce que f tiende a 0 uniformemente cuando | z | tiende a ∞.

El argumento de la regularidad elíptica para probar la suavidad, sin embargo, es el mismo en todas partes y utiliza la teoría de los espacios L ² Sobolev en el toro. ^[3] Sea ψ una función suave de soporte compacto en C , idénticamente igual a 1 en una vecindad del soporte de μ y establezca F = ψ f . El soporte de F se encuentra en un gran cuadrado | x |, | y | ≤ R , entonces, identificar los lados opuestos del cuadrado, F y μ se puede considerar como una distribución y función suave en un toro T ² . Por construcción Festá en L ² ( T ² ). Como distribución en T ² satisface

${\displaystyle \displaystyle F_{\overline {z}}=\mu F_{z}+GF,}$

donde G es suave. Sobre la base canónica e _m de L ² ( T ² ) con m en Z + i Z , defina

${\displaystyle \displaystyle {Ue_{m}={{\overline {m}} \over m}e_{m}\,\,(m\neq 0),Ue_{0}=e_{0}.}}$

Así U es un unitario y en polinomios trigonométricos o funciones suaves P

${\displaystyle \displaystyle {U(P_{\overline {z}})=P_{z}.}}$

De manera similar, se extiende a un unitario en cada espacio de Sobolev H _k ( T ² ) con la misma propiedad. Es la contraparte del toro de la transformada de Beurling. La teoría estándar de los operadores de Fredholm muestra que los operadores correspondientes a I - μ U e I - U μ son invertibles en cada espacio de Sobolev. Por otra parte,

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{z}(I-U\mu )F=UG.}}$

Desde UG es suave, también lo es ( I - mU ) F y por lo tanto también F .

Por tanto, la función original f es suave. Considerado como un mapa de C = R ² en sí mismo, el jacobiano viene dado por

${\displaystyle \displaystyle {J(f)=|f_{z}|^{2}-|f_{\overline {z}}|^{2}=|f_{z}|^{2}(1-|\mu |^{2}).}}$

Este jacobiano no se desvanece en ninguna parte según un argumento clásico de Ahlfors (1966) . De hecho, al escribir formalmente f _z = e ^k , se sigue que

${\displaystyle \displaystyle {k_{\overline {z}}=\mu k_{z}+\mu _{z}.}}$

Esta ecuación para k se puede resolver con los mismos métodos que el anterior, dando una solución que tiende a 0 en ∞. Por unicidad h + 1 = e ^{k de} modo que

${\displaystyle \displaystyle {J(f)=(1-|\mu |^{2})|e^{2k}|}}$

no está desapareciendo en ninguna parte. Dado que f induce un mapa suave de la esfera de Riemann C ∪ ∞ en sí misma que es localmente un difeomorfismo, f debe ser un difeomorfismo. De hecho, debe estar sobre f por la conexión de la esfera, ya que su imagen es un subconjunto abierto y cerrado; pero luego, como mapa de cobertura , f debe cubrir cada punto de la esfera el mismo número de veces. Dado que solo ∞ se envía a ∞, se deduce que f es uno a uno.

La solución f es un difeomorfismo conforme cuasiconformal. Estos forman un grupo y sus coeficientes de Beltrami se pueden calcular de acuerdo con la siguiente regla: ^[4]

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{g\circ f^{-1}}\circ f={f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}{\mu _{g}-\mu _{f} \over 1-{\overline {\mu _{f}}}\mu _{g}}.}}$

Además, si f (0) = 0 y

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=f(z^{-1})^{-1},}}$

luego ^[5]

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{g}(z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}\mu _{f}(z^{-1}).}}$

Esta fórmula refleja el hecho de que en una superficie de Riemann , un coeficiente de Beltrami no es una función. Bajo un cambio holomórfico de coordenada w = w ( z ), el coeficiente se transforma en

${\displaystyle \displaystyle {{\widetilde {\mu }}(w)=(w^{\prime }/{\overline {w^{\prime }}})\cdot \mu (z).}}$

Definiendo un coeficiente de Beltrami suave en la esfera de esta manera, si μ es tal coeficiente, entonces, tomando una función de relieve suave ψ igual a 0 cerca de 0, igual a 1 para | z | > 1 y satisfaciendo 0 ≤ ψ ≤ 1, μ se puede escribir como una suma de dos coeficientes de Beltrami:

${\displaystyle \displaystyle {\mu =\psi \mu +(1-\psi )\mu =\mu _{0}+\mu _{\infty }.}}$

Sea g el difeomorfismo cuasiconformal de la esfera que fija 0 y ∞ con coeficiente μ _∞ . Sea λ el coeficiente de soporte compacto de Beltrami en C definido por

${\displaystyle \displaystyle \lambda (z)=\left[{\mu _{0} \over 1-\mu {\overline {\mu _{\infty }}}}{g_{z} \over {\overline {g_{z}}}}\right]\circ g^{-1}(z).}$

Si f es el difeomorfismo cuasiconformal de la esfera que fija 0 y ∞ con coeficiente λ, entonces las fórmulas de transformación anteriores muestran que f ∘ g ⁻¹ es un difeomorfismo cuasiconformal de la esfera que fija 0 y ∞ con coeficiente μ .

Las soluciones de la ecuación de Beltrami se restringen a los difeomorfismos del semiplano superior o del disco unitario si el coeficiente μ tiene propiedades de simetría adicionales; ^[6] dado que las dos regiones están relacionadas por una transformación de Möbius (la transformada de Cayley), los dos casos son esencialmente los mismos.

Para el semiplano superior Im z > 0, si μ satisface

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={\overline {\mu ({\overline {z}})}},}$

entonces, por unicidad, la solución f de la ecuación de Beltrami satisface

${\displaystyle \displaystyle f(z)={\overline {f({\overline {z}})}},}$

deja así el eje real y, por tanto, el semiplano superior invariante.

Lo mismo ocurre con el disco de la unidad | z | <1, si μ satisface

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}{\overline {\mu ({\overline {z}}^{-1})}},}$

entonces, por unicidad, la solución f de la ecuación de Beltrami satisface

${\displaystyle \displaystyle {f(z)={\overline {f({\overline {z}}^{-1})}}^{-1},}}$

por lo que deja el círculo unitario y, por lo tanto, el disco unitario invariante.

A la inversa, los coeficientes de Beltrami definidos en los cierres del semiplano superior o disco unitario que satisfacen estas condiciones en el límite pueden "reflejarse" utilizando las fórmulas anteriores. Si las funciones extendidas son suaves, se puede aplicar la teoría anterior. De lo contrario, las extensiones serán continuas pero con un salto en las derivadas en el límite. En ese caso, se requiere la teoría más general para coeficientes medibles μ y se maneja más directamente dentro de la teoría L ^p .

Teorema de mapeo suave de Riemann

Ver también: teorema de mapeo de Riemann

Sea U un dominio abierto simplemente conectado en el plano complejo con un límite suave que contiene 0 en su interior y sea F un difeomorfismo del disco unitario D sobre U que se extiende suavemente hasta el límite y la identidad en una vecindad de 0. Suponga que en Además la métrica inducida sobre el cierre del disco de la unidad se puede reflejar en el círculo unitario para definir una métrica suave en C . El coeficiente de Beltrami correspondiente es entonces una función suave en C que desaparece cerca de 0 y ∞ y satisface

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}{\overline {\mu ({\overline {z}}^{-1})}}^{-1}.}$

El difeomorfismo cuasiconformal h de C satisface

${\displaystyle \displaystyle {h_{\overline {z}}=\mu (z)h_{z}}}$

conserva el círculo unitario junto con su interior y exterior. De las fórmulas de composición de los coeficientes de Beltrami

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{F\circ h^{-1}}=0,}}$

de modo que f = F ∘ h ⁻¹ es un difeomorfismo suave entre los cierres de D y U que es holomorfo en el interior. Por lo tanto, si un difeomorfismo adecuado F puede ser construido, el mapeo f demuestra el buen teorema de la aplicación Riemann para el dominio U .

Para producir un difeomorfismo F con las propiedades anteriores, se puede suponer después de una transformación afín que el límite de U tiene una longitud 2π y que 0 mentiras en U . La versión suave del teorema de las moscas de Schoen produce un difeomorfismo suave G desde el cierre de D al cierre de u igual a la identidad en una vecindad de 0 y con una forma explícita en una vecindad tubular del círculo unitario. De hecho, tomando coordenadas polares ( r , θ ) en R ² y dejando ( x ( θ ), y ( θ)) ( θ en [0,2 π ]) sea una parametrización de ∂ U por arclength, G tiene la forma

${\displaystyle \displaystyle G(r,\theta )=(x(\theta )-(1-r)y^{\prime }(\theta ),y(\theta )+(1-r)x^{\prime }(\theta )).}$

Tomando t = 1 - r como parámetro, la métrica inducida cerca del círculo unitario viene dada por

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=(1+t\kappa (\theta ))^{2}d\theta ^{2}+dt^{2},}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle \kappa (\theta )=y^{\prime \prime }(\theta )x^{\prime }(\theta )-x^{\prime \prime }(\theta )y^{\prime }(\theta )}$

es la curvatura de la curva plana ( x ( θ ), y ( θ )).

Dejar

${\displaystyle \displaystyle \alpha ={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\,d\theta ,\,\,\,h(\theta )=\kappa (\theta )-\alpha .}$

Después de un cambio de variable en la coordenada t y un cambio conforme en la métrica, la métrica toma la forma

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=(1+t\psi (t)h(\theta ))^{2}d\theta ^{2}+dt^{2},}$

donde ψ es una función analítica de valor real de t :

${\displaystyle \displaystyle \psi (t)=1+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots }$

Un difeomorfismo formal que envía ( θ , t ) a ( f ( θ , t ), t ) se puede definir como una serie de potencias formal en t :

${\displaystyle \displaystyle f(\theta ,t)=\theta +f_{1}(\theta )t+f_{2}(\theta )t^{2}+\cdots =\theta +g(\theta ,t)}$

donde los coeficientes f _n son funciones suaves en el círculo. Estos coeficientes se pueden definir por recurrencia de modo que la métrica transformada solo tenga potencias pares de t en los coeficientes. Esta condición se impone exigiendo que no aparezcan potencias impares de t en la expansión formal de la serie de potencias:

${\displaystyle \left[1+t\psi (t)\left(\sum _{n\geq 0}h^{(n)}g^{n}/n!\right)\right]\cdot \left[(1+g^{\prime })\,d\theta +\left(\sum _{n\geq 1}nf_{n}t^{n-1}\right)\,dt\right].}$

Según el lema de Borel , hay un difeomorfismo definido en una vecindad del círculo unitario, t = 0, para el cual la expresión formal f ( θ , t ) es la expansión de la serie de Taylor en la variable t . De ello se deduce que, después de componer con este difeomorfismo, la extensión de la métrica obtenida al reflejar en la línea t = 0 es suave.

Continuidad de soluciones de Hölder

Douady y otros han indicado formas de extender la teoría L ² para probar la existencia y unicidad de las soluciones cuando el coeficiente de Beltrami μ está acotado y se puede medir con L ^∞ norma k estrictamente menor que uno. Su enfoque involucró la teoría de mapeos cuasiconformales para establecer directamente las soluciones de la ecuación de Beltrami cuando μ es suave con soporte compacto fijo y uniformemente continuo de Hölder . ^[7] En el enfoque L ^p , la continuidad de Hölder se sigue automáticamente de la teoría del operador.

La teoría L ^p cuando μ es suave de soporte compacto procede como en el caso L ² . Según la teoría de Calderón-Zygmund, se sabe que la transformada de Beurling y su inversa son continuas para la norma L ^p . El teorema de la convexidad de Riesz-Thorin implica que las normas C ^p son funciones continuas de p . En particular, C _p tiende a 1 cuando p tiende a 2.

En la ecuación de Beltrami

${\displaystyle \displaystyle {f_{\overline {z}}=\mu f_{z},}}$

con μ una función suave de soporte compacto, ajuste

${\displaystyle \displaystyle g(z)=f(z)-z}$

y suponga que las primeras derivadas de g son L ^p . Sea h = g _z = f _z - 1. Entonces

${\displaystyle \displaystyle {h=g_{z}=T(g_{\overline {z}})=T(f_{\overline {z}})=T(\mu f_{z})=T(\mu h)+T\mu .}}$

Si A y B son los operadores definidos por AF = TμF y BF = μTF , entonces sus normas de operador son estrictamente menores que 1 y ( I - A ) h = T μ. Por eso

${\displaystyle \displaystyle h=(I-A)^{-1}T\mu ,\,\,\,T^{-1}=(I-B)^{-1}\mu }$

donde los lados derechos se pueden ampliar como serie Neumann . Resulta que

${\displaystyle \displaystyle g_{\overline {z}}=T^{-1}h,}$

tiene el mismo soporte que μ y g . Por tanto, hasta la suma de una constante, f está dada por

${\displaystyle \displaystyle f(z)=CT^{-1}h(z)+z.}$

La convergencia de funciones con soporte compacto fijo en la norma L ^p para p > 2 implica convergencia en L ² , por lo que estas fórmulas son compatibles con la teoría L ² si p > 2.

La transformada de Cauchy C no es continua en L ² excepto como un mapa de funciones de oscilación media de fuga .^[8] En L ^p, su imagen está contenida en funciones continuas de Hölder con exponente de Hölder 1 - 2 p ⁻¹ una vez que se suma una constante adecuada. De hecho, para una función f de soporte compacto, defina

${\displaystyle {\begin{aligned}Pf(w)&=Cf(w)+\pi ^{-1}\iint _{\mathbf {C} }{f(z) \over z}\,dx\,dy\\[4pt]&=-{1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }f(z)\left({1 \over z-w}-{1 \over z}\right)\,dx\,dy=-{1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }{f(z)w \over z(z-w)}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que la constante se suma de modo que Pf (0) = 0. Dado que Pf solo difiere de Cf por una constante, se sigue exactamente como en la teoría L ² que

${\displaystyle \displaystyle (Pf)_{\overline {z}}=f,\,\,\,(Pf)_{z}=Tf.}$

Además, se puede usar P en lugar de C para producir una solución:

${\displaystyle \displaystyle f(z)=PT^{-1}h(z)+z.}$

Por otro lado, el integrando que define Pf está en L ^q si q ⁻¹ = 1 - p ⁻¹ . La desigualdad de Hölder implica que Pf es Hölder continua con una estimación explícita:

${\displaystyle \displaystyle |Pf(w_{1})-Pf(w_{2})|\leq K_{p}\|f\|_{p}|w_{1}-w_{2}|^{1-2/p},}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle K_{p}=\|z^{-1}(z-1)^{-1}\|_{q}/\pi .}$

Para cualquier p > 2 suficientemente cercano a 2, C _p k <1. Por tanto, las series de Neumann para ( I - A ) ⁻¹ y ( I - B ) ⁻¹ convergen. Las estimaciones de Hölder para P producen las siguientes estimaciones uniformes para la solución normalizada de la ecuación de Beltrami:

${\displaystyle \displaystyle |f(w_{1})-f(w_{2})|\leq {K_{p} \over 1-\|\mu \|_{\infty }C_{p}}\|\mu \|_{p}|w_{1}-w_{2}|^{1-2/p}+|w_{1}-w_{2}|.}$

Si μ se admite en | z | ≤ R , entonces

${\displaystyle \displaystyle \|\mu \|_{p}\leq (\pi R^{2})^{1/p}\|\mu \|_{\infty }.}$

Configuración w ₁ = z y w ₂ = 0, se deduce que para | z | ≤ R

${\displaystyle \displaystyle |f(z)|\leq \left[1+{K_{p}\pi ^{1/p}\|\mu \|_{\infty } \over 1-\|\mu \|_{\infty }C_{p}}\right]\cdot R=CR,}$

donde la constante C > 0 depende solo de la norma L ^∞ de μ . Por tanto, el coeficiente de Beltrami de f ⁻¹ es uniforme y está soportado en z | ≤ CR . Tiene la misma norma L ^∞ que la de f . Por tanto, los difeomorfismos inversos también satisfacen estimaciones uniformes de Hölder.

Solución para coeficientes de Beltrami medibles

Existencia

La teoría de la ecuación de Beltrami se puede extender a coeficientes de Beltrami medibles μ . Por simplicidad, sólo se considerará una clase especial de μ , adecuada para la mayoría de las aplicaciones, a saber, aquellas funciones que son suaves y un conjunto abierto Ω (el conjunto regular) con complemento Λ un conjunto cerrado de medida cero (el conjunto singular). Por tanto, Λ es un conjunto cerrado que está contenido en conjuntos abiertos de área arbitrariamente pequeña. Para coeficientes de Beltrami medibles μ con soporte compacto en | z | < R , la solución de la ecuación de Beltrami se puede obtener como un límite de soluciones para coeficientes de Beltrami suaves. ^[9]

De hecho, en este caso, el conjunto singular Λ es compacto. Tome funciones suaves φ _n de soporte compacto con 0 ≤ φ _n ≤ 1, igual a 1 en un vecindario de Λ y 0 en un vecindario ligeramente más grande, reduciéndose a Λ a medida que n aumenta. Colocar

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{n}=(1-\varphi _{n})\cdot \mu .}}$

Los μ _n son lisos con soporte compacto en | z | < R y

${\displaystyle \displaystyle {\|\mu _{n}\|_{\infty }\leq \|\mu \|_{\infty }.}}$

Los μ _n tienden a μ en cualquier norma L ^p con p <∞.

Las correspondientes soluciones normalizadas f _n de las ecuaciones de Beltrami y sus inversas g _n satisfacen estimaciones uniformes de Hölder. Por lo tanto, son equicontinuos en cualquier subconjunto compacto de C ; incluso son holomórficos para | z | > R . Entonces, por el teorema de Arzelà-Ascoli , pasando a una subsecuencia si es necesario, se puede suponer que tanto f _n como g _n convergen uniformemente en compacta af y g . Los límites satisfarán las mismas estimaciones de Hölder y serán holomórficos para | z | > R. Las relaciones f _n ∘ g _n = id = g _n ∘ f _n implican que en el límite f ∘ g = id = g ∘ f , por lo que f y g son homeomorfismos.

• Los límites de f y g son débilmente diferenciable. ^[10] De hecho, dejemos

${\displaystyle \displaystyle {u_{n}=\partial _{\overline {z}}f_{n},\,\,v_{n}=\partial _{z}f_{n}-1.}}$

Éstos se encuentran en L ^p y están uniformemente acotados:

${\displaystyle \displaystyle {\|u_{n}\|_{p},\,\,\|v_{n}\|_{p}\leq {\|\mu _{n}\|_{p} \over 1-\|\mu _{n}\|_{\infty }}.}}$

Pasando a una subsecuencia si es necesario, se puede suponer que las secuencias tienen límites débiles u y v en L ^p . Estas son las derivadas distributivas de f ( z ) - z , ya que si ψ es suave de soporte compacto

${\displaystyle \displaystyle {\iint u\cdot \psi =\lim \iint u_{n}\cdot \psi =-\lim \iint f_{n}\cdot \partial _{\overline {z}}\psi =-\iint f\cdot \partial _{\overline {z}}\psi ,}}$

y de manera similar para el v . Un argumento similar se aplica a la g usando el hecho de que los coeficientes de Beltrami de la g _n están soportados en un disco cerrado fijo.

• f satisface la ecuación de Beltrami con el coeficiente de Beltrami μ . ^[11] De hecho, la relación u = μ ⋅ v + μ se sigue por continuidad de la relación u _n = μ _n ⋅ v _n + μ _n . Basta mostrar que μ _n ⋅ v _n tiende débilmente a μ ⋅ v . La diferencia se puede escribir

${\displaystyle \displaystyle {\mu v-\mu _{n}v_{n}=\mu (v-v_{n})+(\mu -\mu _{n})v_{n}.}}$

El primer término tiende débilmente a 0, mientras que el segundo término es igual a μ φ _n v _n . Los términos están uniformemente acotados en L ^p , por lo que para verificar la convergencia débil a 0 es suficiente verificar los productos internos con un subconjunto denso de L ² . Los productos internos con funciones de soporte compacto en Ω son cero para n suficientemente grandes.

• f lleva conjuntos cerrados de medida cero a conjuntos cerrados de medida cero. ^[12] Basta con comprobarlo para un conjunto compacto K de medida cero. Si U es un conjunto abierto acotado que contiene K y J denota el jacobiano de una función, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}A(f_{n}(U))&=\iint _{U}J(f_{n})\,dx\,dy=\iint _{U}|\partial _{z}f_{n}|^{2}-|\partial _{\overline {z}}f_{n}|^{2}\,dx\,dy\\[4pt]&\leq \iint _{U}|\partial _{z}f_{n}|^{2}\,dx\,dy\leq \|\partial _{z}f_{n}|_{U}\|_{p}^{2}\,A(U)^{1-2/p}.\end{aligned}}}$

Por tanto, si A ( U ) es pequeño, también lo es A ( f _n ( U )). Por otro lado, f _n ( U ) eventualmente contiene f ( K ), para aplicar la inversa g _n , U eventualmente contiene g _n ∘ f ( K ) ya que g _n ∘ f tiende uniformemente a la identidad en compacta. Por tanto, f ( K ) tiene medida cero.

• f es suave en el conjunto regular Ω de μ . Esto se sigue de los resultados de regularidad elíptica en la teoría L ² .
• f tiene jacobiano que no desaparece allí. En particular, f _z ≠ 0 en Ω. ^[13] De hecho, para z ₀ en Ω, si n es lo suficientemente grande

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{\overline {z}}(f\circ g_{n})=0}}$

cerca de z ₁ = f _n ( z ₀ ). Entonces h = f ∘ g _n es holomórfico cerca de z ₁ . Dado que es localmente un homeomorfismo, h '( z ₁ ) ≠ 0. Dado que f = h ∘ f _n . de ello se deduce que el jacobiano de f no es cero en z ₀ . Por otro lado J ( f ) = | f _z | ² (1 - | μ | ² ), entoncesf _z ≠ 0 en z ₀ .

• g satisface la ecuación de Beltrami con el coeficiente de Beltrami

${\displaystyle \displaystyle {\mu ^{\prime }(f(z))=-{f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}\cdot \mu (z)}}$

o equivalente

${\displaystyle \displaystyle {\mu ^{\prime }(w)=-{{\overline {g_{w}}} \over g_{w}}\cdot \mu (g(w))}}$

en el conjunto regular Ω '= f (Ω), con el conjunto singular correspondiente Λ' = f (Λ).

• g satisface la ecuación de Beltrami para μ ′. De hecho, g tiene derivadas distributivas débiles en 1 + L ^p y L ^p . Emparejándose con funciones suaves de soporte compacto en Ω, estas derivadas coinciden con las derivadas reales en los puntos de Ω. Dado que Λ tiene medida cero, las derivadas distributivas son iguales a las derivadas reales en L ^p . Por tanto, g satisface la ecuación de Beltrami como lo hacen las derivadas reales.
• Si f * y f son soluciones construidas como arriba para μ * y μ entonces f * ∘ f ⁻¹ satisface la ecuación de Beltrami para

${\displaystyle \displaystyle \nu (f(z))={f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}\,{\mu ^{*}-\mu \over 1-{\overline {\mu }}\mu ^{*}},}$

definido en Ω ∩ Ω *. Las derivadas débiles de f * ∘ f ⁻¹ están dadas por las derivadas reales en Ω ∩ Ω *. De hecho, esto se sigue aproximando f * y g = f ⁻¹ por f * _n y g _n . Las derivadas están uniformemente acotadas en 1 + L ^p y L ^p , por lo que antes de los límites débiles se obtienen las derivadas distributivas de f * ∘ f ⁻¹. Emparejándose con funciones suaves de soporte compacto en Ω ∩ Ω *, estos concuerdan con las derivadas habituales. Entonces, las derivadas distributivas están dadas por las derivadas usuales de Λ ∪ Λ *, un conjunto de medida cero.

Esto establece la existencia de soluciones homeomórficas de la ecuación de Beltrami en el caso de los coeficientes de soporte compacto de Beltrami. También muestra que los homeomorfismos inversos y los homeomorfismos compuestos satisfacen las ecuaciones de Beltrami y que todos los cálculos se pueden realizar restringiendo a conjuntos regulares.

Si el soporte no es compacto, se puede utilizar el mismo truco utilizado en el caso liso para construir una solución en términos de dos homeomorfismos asociados a los coeficientes de Beltrami con soporte compacto. Tenga en cuenta que, debido a los supuestos sobre el coeficiente de Beltrami, se puede aplicar una transformación de Möbius del plano complejo extendido para hacer compacto el conjunto singular del coeficiente de Beltrami. En ese caso, uno de los homeomorfismos puede elegirse como difeomorfismo.

Unicidad

Hay varias pruebas de la unicidad de las soluciones de la ecuación de Beltrami con un coeficiente de Beltrami dado. ^[14] Dado que la aplicación de una transformación de Möbius del plano complejo a cualquier solución da otra solución, las soluciones se pueden normalizar para que fijen 0, 1 y ∞. El método de solución de la ecuación de Beltrami utilizando la transformada de Beurling también proporciona una prueba de unicidad para los coeficientes de soporte compacto μ y para los cuales las derivadas distributivas están en 1 + L ^p y L ^p . Las relaciones

${\displaystyle \displaystyle P\psi )_{\overline {z}}=\psi ,\,\,\,(P\psi )_{z}=T\psi }$

para funciones suaves ψ de soporte compacto también son válidas en el sentido distributivo para L ^p funciones h ya que pueden escribirse como L ^p de ψ _n 's. Si f es una solución de la ecuación de Beltrami con f (0) = 0 y f _z - 1 en L ^p entonces

${\displaystyle \displaystyle {F=f-P(f_{\overline {z}})}}$

satisface

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{\overline {z}}F=0.}}$

Entonces F es débilmente holomórfico. Aplicando el lema de Weyl ^[15] es posible concluir que existe una función holomórfica G que es igual a F casi en todas partes. El abuso de notación redefine F: = G . Las condiciones F '(z) - 1 se encuentran en L ^p y F (0) = 0 fuerza F ( z ) = z . Por eso

${\displaystyle \displaystyle {P(f_{\overline {z}})=f(z)+z}}$

y tan diferenciador

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}=T(\mu f_{z})+1.}}$

Si g es otra solución, entonces

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}-g_{z}=T(\mu (f_{z}-g_{z})).}}$

Dado que T μ tiene una norma de operador en L ^p menor que 1, esto fuerza

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}=g_{z}.}}$

Pero luego de la ecuación de Beltrami

${\displaystyle \displaystyle {f_{\overline {z}}=g_{\overline {z}}.}}$

Por lo tanto, f - g es tanto holomórfico como antiholomórfico, por lo que es una constante. Dado que f (0) = 0 = g (0), se deduce que f = g . Tenga en cuenta que, dado que f es holomórfica fuera del soporte de μ y f (∞) = ∞, las condiciones de que las derivadas estén localmente en L ^p fuerzan

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}-1,\,\,f_{\overline {z}}\in L^{p}(\mathbf {C} ).}}$

Para una f general que satisface la ecuación de Beltrami y con derivadas distributivas localmente en L ^p , se puede suponer después de aplicar una transformación de Möbius que 0 no está en el conjunto singular del coeficiente de Beltrami μ . Si g es un difeomorfismo suave g con el coeficiente de Beltrami λ apoyado cerca de 0, el coeficiente de Beltrami ν para f ∘ g ⁻¹ se puede calcular directamente usando la fórmula de cambio de variables para derivadas distributivas:

${\displaystyle \displaystyle \nu (g(z))={g_{z} \over {\overline {g_{z}}}}\,{\mu -\lambda \over 1-{\overline {\lambda }}\mu }.}$

λ se puede elegir de modo que ν desaparezca cerca de cero. La aplicación del mapa z ⁻¹ da como resultado una solución de la ecuación de Beltrami con un coeficiente de soporte compacto de Beltrami. Las derivadas direccionales todavía están localmente en L ^p . El coeficiente ν depende solo de μ , λ y g , por lo que dos soluciones cualesquiera de la ecuación original producirán soluciones cercanas a 0 con derivadas distributivas localmente en L ^p y el mismo coeficiente de Beltrami. Por tanto, son iguales. Por tanto, las soluciones de la ecuación original son iguales.

Uniformización de dominios planos múltiples conectados

El método utilizado para demostrar el teorema de mapeo suave de Riemann se puede generalizar para multiplicar regiones planas conectadas con límites suaves. El coeficiente de Beltrami en estos casos es uniforme en un conjunto abierto, cuyo complemento tiene medida cero. Por tanto, se requiere la teoría de la ecuación de Beltrami con coeficientes medibles. ^{[16] [17]}

Dominios doblemente conectados. Si Ω es una región plana doblemente conectada, entonces hay un difeomorfismo F de un anillo r ≤ | z | ≤ 1 en el cierre de Ω, de modo que después de un cambio conforme, la métrica inducida en el anillo puede continuar sin problemas mediante la reflexión en ambos límites. El anillo es un dominio fundamental para el grupo generado por las dos reflexiones, que invierten la orientación. Las imágenes del dominio fundamental debajo del grupo completan C con 0 eliminado y el coeficiente de Beltrami es suave allí. La solución canónica h de la ecuación de Beltrami en C , por L ^pla teoría es un homeomorfismo. Es suave alejándose de 0 por regularidad elíptica. Por su singularidad conserva el círculo unitario, junto con su interior y exterior. La unicidad de la solución también implica que la reflexión existe una transformación de Möbius conjugada g tal que h ∘ R = g ∘ h donde R denota reflexión en | z | = r . Al componer con una transformación de Möbius que fija el círculo unitario, se puede suponer que g es un reflejo en un círculo | z | = s con s <1. De ello se deduce que F ∘ h₋₁ es un difeomorfismo suave del anillo s ≤ | z | ≤ 1 sobre el cierre de Ω, holomorfo en el interior. ^[18]

Multiplica los dominios conectados. Para las regiones con un mayor grado de conectividad k + 1, el resultado es esencialmente la generalización de Bers del teorema de la retrosección . ^[19] Hay un difeomorfismo suave F de la región Ω ₁ , dado por el disco unitario con k discos abiertos eliminados, sobre el cierre de Ω. Se puede suponer que 0 se encuentra en el interior del dominio. Nuevamente, después de una modificación del difeomorfismo y un cambio conforme cerca del límite, se puede suponer que la métrica es compatible con la reflexión. Sea G el grupo generado por las reflexiones en los círculos limítrofes de Ω ₁ . El interior de Ω₁ iz un dominio fundamental para G . Además, el índice dos subgrupo normal G _{0 que} consta de asignaciones que conservan la orientación es un grupo de Schottky clásico . Su dominio fundamental consiste en el dominio fundamental original con su reflejo en el círculo unitario agregado. Si la reflexión es R ₀ , es un grupo libre con generadores R _i ∘ R ₀ donde R _i son las reflexiones en los círculos interiores en el dominio original. Las imágenes del dominio original por el G, o equivalentemente el dominio reflejado por el grupo Schottky, complete el conjunto regular para el grupo Schottky. Actúa correctamente de forma discontinua allí. El complemento es el conjunto límite de G ₀ . Tiene medida cero. La métrica inducida en Ω _{1 se} extiende por reflexión al conjunto regular. El coeficiente de Beltrami correspondiente es invariante para el grupo de reflexión generada por las reflexiones R _i para i ≥ 0. Puesto que el conjunto límite tiene medida cero, el coeficiente de Beltrami se extiende únicamente a una función medible acotada en C . suave en el fraguado regular. La solución normalizada de la ecuación de Beltrami hes un difeomorfismo suave del cierre de Ω ₁ sobre sí mismo conservando el círculo unitario, su exterior e interior. Necesariamente h ∘ R _i = S _i ∘ h . donde S _i es la reflexión en otro círculo en el disco unitario. Mirando puntos fijos, los círculos que surgen de esta manera para diferentes i deben estar separados. Se deduce que F ∘ h ⁻¹ define un difeomorfismo suave del disco unitario con el interior de estos círculos eliminado sobre el cierre de Ω, que es holomorfo en el interior.

Uniformización simultánea

Ver también: teorema de uniformización simultánea

Bers (1961) demostró que dos variedades compactas de Riemann 2 M ₁ , M ₂ del género g > 1 pueden uniformizarse simultáneamente.

Como los espacios topológicos M ₁ y M ₂ son homeomórficos a un cociente fijo del semiplano superior H por un subgrupo cocompacto discreto Γ de PSL (2, R ). Γ se puede identificar con el grupo fundamental de los colectores y H es un espacio de cobertura universal . Los homeomorfismos se pueden elegir para que sean lineales por partes en las triangulaciones correspondientes. Un resultado de Munkres (1961) implica que los homeomorfismos se pueden ajustar cerca de los bordes y los vértices de la triangulación para producir difeomorfismos. La métrica en M ₁ induce una métrica en H harvtxt error: no target: CITEREFMunkres1961 (help)que es invariante Γ. Vamos μ ser el correspondiente coeficiente de Beltrami en H . Puede extenderse a C por reflexión.

${\displaystyle \displaystyle {\widehat {\mu }}(z)=\mu (z)\,\,(z\in \mathbf {H} ),\,\,{\widehat {\mu }}(z)=0\,\,(z\in \mathbf {R} ),\,\,{\widehat {\mu }}(z)={\overline {\mu ({\overline {z}})}}\,\,({\overline {z}}\in \mathbf {H} ).}$

Satisface la propiedad de invariancia

${\displaystyle \displaystyle {\widehat {\mu }}(g(z))={{\overline {g_{z}}} \over g_{z}}\,{\widehat {\mu }}(z),}$

para g en Γ. La solución f de la correspondiente ecuación de Beltrami define un homeomorfismo de C , conservando el eje real y los semiplanos superior e inferior. La conjugación de los elementos del grupo por f ⁻¹ da un nuevo subgrupo cocompacto Γ ₁ de PSL (2, R ). Al componer el difeomorfismo original con la inversa de f, se obtiene cero como coeficiente de Beltrami. Así, la métrica inducida sobre H es invariante bajo Γ ₁ y conformal al Poincaré métrica en H . Por lo tanto, debe darse multiplicando por una función suave positiva que sea Γ ₁-invariante. Cualquiera de estas funciones corresponde a una función suave en M ₁ . Dividir la métrica en M ₁ por esta función da como resultado una métrica conformemente equivalente en M ₁ que concuerda con la métrica de Poincaré en H / Γ ₁ . De esta manera, M _{1 se} convierte en una superficie de Riemann compacta , es decir, se uniformiza y hereda una estructura compleja natural.

Con este cambio conforme en la métrica, M ₁ puede identificarse con H / Γ ₁ . El difeomorfismo entre sobre M ₂ induce otra métrica sobre H que es invariante bajo Γ ₁ . Define un Beltrami coeficiente λ omn H que esta vez se extiende a C mediante la definición de λ ser 0 off H . La solución h de la ecuación de Beltrami es un homeomorfismo de C que es holomorfo en el semiplano inferior y suave en el semiplano superior. La imagen del eje real es una curva de Jordan que divide Cen dos componentes. La conjugación de Γ ₁ por h ⁻¹ da un subgrupo cuasi-fucsiano Γ ₂ de PSL (2, C ). Deja invariante la curva de Jordan y actúa correctamente de forma discontinua sobre cada uno de los dos componentes. Los cocientes de los dos componentes por Γ ₂ se identifican naturalmente con M ₁ y M ₂ . Esta identificación es compatible con las estructuras complejas naturales tanto en M ₁ como en M ₂ .

Soldadura conformada

Ver también: soldadura conformada y extensión Douady-Earle

Un conserva la orientación homeomorfismo f del círculo se dice que es quasisymmetric si hay constantes positivas a y b tales que

${\displaystyle \displaystyle {{{|f(z_{1})-f(z_{2})| \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\leq a\cdot {|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_{3}|^{b}}}.}}$

Si

${\displaystyle \displaystyle {|z_{1}-z_{2}|=|z_{1}-z_{3}|,}}$

entonces la condición se convierte en

${\displaystyle \displaystyle {a^{-1}\leq {|f(z_{1})-f(z_{2})| \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\leq a.}}$

Por el contrario, si esta condición se satisface para todos los triples de puntos, entonces f es cuasimétrica. ^[20]

Una condición aparentemente más débil en un homeomorfismo f del círculo es que sea cuasi-Möbius , es decir, hay constantes c , d > 0 tales que

${\displaystyle \displaystyle {|(f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))|\leq c|(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle {(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}}$

denota la relación cruzada . De hecho, si f es cuasimétrico, entonces también es cuasi-Möbius, con c = a ² y d = b : esto se sigue multiplicando la primera desigualdad anterior por ( z ₁ , z ₃ , z ₄ ) y ( z ₂ , z ₄ , z ₃ ).

Por el contrario, si f es un homeomorfismo cuasi-Möbius, entonces también es cuasimétrico. ^[21] De hecho, es inmediato que si f es cuasi-Möbius, también lo es su inversa. Entonces se deduce que f (y por tanto f ⁻¹ ) es continua de Hölder . Para ver esto, sea S el conjunto de raíces cúbicas de unidad, de modo que si a ≠ b en S , entonces | a - b | = 2 sin π / 3 = √ 3 . Para probar una estimación de Hölder, se puede suponer que x - yes uniformemente pequeño. Entonces, tanto x como y son mayores que una distancia fija de a , b en S con a ≠ b , por lo que la estimación sigue aplicando la desigualdad de cuasi-Möbius ax , a , y , b . Para comprobar que f es cuasimétrico, basta con encontrar un límite superior uniforme para | f ( x ) - f ( y ) | / | f ( x ) - f ( z ) | en el caso de un triple con |x - z | = | x - y |, uniformemente pequeño. En este caso, hay un punto w a una distancia mayor que 1 de x , y y z . Al aplicar la desigualdad de cuasi-Möbius ax , w , y y z se obtiene el límite superior requerido.

Un homeomorfismo f del círculo unitario puede extenderse a un homeomorfismo F del disco unitario cerrado que es difeomorfismo en su interior. Douady y Earle (1986) , generalizando los resultados anteriores de Ahlfors y Beurling, produjeron tal extensión con las propiedades adicionales que conmuta con la acción de SU (1,1) por transformaciones de Möbius y es cuasiconformal si f es cuasimétrica. ( Tukia (1985) también encontró un método menos elemental de forma independiente : el enfoque de Tukia tiene la ventaja de aplicarse también en dimensiones superiores.) Cuando f es un difeomorfismo del círculo, la extensión de Alexander proporciona otra forma de extenderf :

${\displaystyle \displaystyle {F(r,\theta )=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

donde ψ es una función suave con valores en [0,1], igual a 0 cerca de 0 y 1 cerca de 1, y

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{i\theta })=e^{ig(\theta )},}}$

con g ( θ + 2 π ) = g ( θ ) + 2 π . Partyka, Sakan y Zając (1999) ofrecen un estudio de varios métodos de extensión, incluidas variantes de la extensión Ahlfors-Beurling que son suaves o analíticas en el disco unitario abierto.

En el caso de un difeomorfismo, la extensión F de Alexander se puede continuar con cualquier disco más grande | z | < R con R > 1. En consecuencia, en el disco de la unidad

${\displaystyle \displaystyle {\|\mu \|_{\infty }<1,\,\,\,\mu (z)=F_{\overline {z}}/F_{z}.}}$

Esto también es cierto para las otras extensiones cuando f es solo cuasimétrico.

Ahora extienda μ a un coeficiente de Beltrami en la totalidad de C estableciéndolo igual a 0 para | z | ≥ 1. Sea G la solución correspondiente de la ecuación de Beltrami. Sea F ₁ ( z ) = G ∘ F ⁻¹ ( z ) para | z | ≤ 1 y F ₂ ( z ) = G ( z ) para | z | ≥ 1. Por tanto, F ₁ y F ₂ son mapas holomórficos univalentes de | z | <1 y | z| > 1 en el interior y el exterior de una curva de Jordan. Se extienden continuamente a homeomorfismos f _i del círculo unitario sobre la curva de Jordan en el límite. Por construcción, satisfacen la condición de soldadura conforme :

${\displaystyle \displaystyle {f=f_{1}^{-1}\circ f_{2}.}}$

Ver también

• Mapeo cuasiconformal
• Teorema de mapeo de Riemann medible
• Coordenadas isotermas

Notas

1. Spivak 1999 , págs. 314–317, que son págs. 455–460 en la primera o segunda edición, pero tenga en cuenta que hay un error tipográfico en la ecuación (**) en la página 315 o 457. El lado derecho, dado como −β / α, debería ser −α / β.
2. Ver:
   • Astala, Iwaniec y Martin 2009
   • Bers, John y Schechter 1979
   • Ahlfors 1966
   • Glutsyuk 2008
   • Douady y Buff 2000
3. Ver:
   • Bers, John y Schechter 1979
   • Glutsyuk 2008
4. Ver:
   • Ahlfors 1966 , pág. 9
   • Imayoshi y Taniguchi 1992 , pág. 88
5. Ahlfors , 1966 , p. 98
6. Ver
   • Ahlfors 1966 , pág. 99
   • Bers, John y Schechter 1979 , pág. 277
7. Ver:
   • Douady y Buff 2000
   • Glutsyuk 2008
   • Ahlfors 1966
8. Astala, Iwaniec y Martin 2009
9. Ver:
   • Ahlfors 1966
   • Douady y Buff 2000
10. Douady y Buff 2000 , págs. 319–320
11. Douady y Buff 2000 , págs. 319–320
12. Ahlfors , 1966 , págs. 97–98
13. Douady y Buff , p. 321 harvnb error: no target: CITEREFDouadyBuff (help)
14. Ver:
    • Ahlfors 1966
    • Imayoshi y Taniguchi 1992
    • Lehto 1987
    • Lehto y Virtanen 1973
    • Buff y Xavier 2000 , págs. 321–322 harvnb error: no target: CITEREFBuffXavier2000 (help)
15. * Astala, Iwaniec y Martin 2009
16. Bers 1961
17. Sibner, 1965
18. Sibner, 1965
19. Ver:
    • Bers 1961
    • Sibner 1965
20. Tukia y Väisälä 1980
21. Väisälä 1984

Referencias

• Ahlfors, Lars V. (1955), Conformalidad con respecto a las métricas de Riemann , Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. IA, 206
• Ahlfors, Lars V. (1966), Conferencias sobre asignaciones cuasiconformales , Van Nostrand
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