Distribución (matemáticas)

Las distribuciones , también conocidas como distribuciones de Schwartz o funciones generalizadas , son objetos que generalizan la noción clásica de funciones en el análisis matemático . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función integrable localmente tiene una derivada distributiva. Las distribuciones se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , donde puede ser más fácil establecer la existencia de soluciones distributivas que las soluciones clásicas, o donde las soluciones clásicas apropiadas pueden no existir. Las distribuciones también son importantes en física yingeniería donde muchos problemas conducen naturalmente a ecuaciones diferenciales cuyas soluciones o condiciones iniciales son distribuciones, como la función delta de Dirac .

Normalmente se piensa que una función actúa sobre los puntos en su dominio "enviando" un punto x en su dominio al punto. En lugar de actuar sobre puntos, la teoría de la distribución reinterpreta funciones tales como actuar sobre funciones de prueba de cierta manera. Las funciones de prueba suelen ser funciones infinitamente diferenciables de valor complejo (o, a veces, de valor real ) con soporte compacto ( funciones de respuesta${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (x).}$${\ Displaystyle f}$ son ejemplos de funciones de prueba). Muchas "funciones estándar" (es decir, por ejemplo, una función que se encuentra típicamente en un curso de Cálculo ), digamos que, por ejemplo, un mapa continuo se puede reinterpretar canónicamente como que actúa sobre funciones de prueba (en lugar de su interpretación habitual como actuar sobre puntos de su dominio). a través de la acción conocida como " integración contra una función de prueba"; explícitamente, esto significa que "actúa sobre" una función de prueba "enviando" al número. Esta nueva acción de es, por tanto, un mapa complejo (o real) valorado , denotado por cuyo dominio es el espacio${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle g}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} fg \, dx.}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle D_ {f},}$de funciones de prueba; este mapa resulta tener dos propiedades adicionales ^{[nota 1]} que lo convierten en lo que se conoce como distribución en${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$ Distribuciones que surgen de "funciones estándar" de esta manera son los ejemplos prototípicos de distribuciones. Pero hay muchas distribuciones que no surgen de esta forma y estas distribuciones se conocen como "funciones generalizadas". Los ejemplos incluyen la función delta de Dirac o algunas distribuciones que surgen a través de la acción de "integración de funciones de prueba contra medidas ". Sin embargo, mediante el uso de varios métodos, aún es posible reducir cualquier distribución arbitraria a una familia más simple. de distribuciones relacionadas que surgen a través de tales acciones de integración.

El gráfico de la función bump donde y Esta función es una función de prueba en y es un elemento de El soporte de esta función es el disco de la unidad cerrada en No es cero en el disco de la unidad abierta y es igual a 0 en todas partes fuera de eso.${\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mapsto \ Psi (r),}$${\ Displaystyle r = \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$${\ Displaystyle \ Psi (r) = e ^ {- {\ frac {1} {1-r ^ {2}}}} \ cdot \ mathbf {1} _ {\ {| r | <1 \}}. }$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {2} \ right).}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$