Cuasigrupo
En matemáticas , especialmente en álgebra abstracta , un cuasigrupo es una estructura algebraica que se asemeja a un grupo en el sentido de que la " división " siempre es posible. Los cuasigrupos se diferencian de los grupos principalmente en que no son necesariamente asociativos .
Hay al menos dos definiciones formales estructuralmente equivalentes de cuasigrupo. Uno define un cuasigrupo como un conjunto con una operación binaria , y el otro, del álgebra universal , define un cuasigrupo como que tiene tres operaciones primitivas. El homomorphic imagen de un cuasigrupo definida con una sola operación binaria, sin embargo, no tiene que ser un cuasigrupo. [1] Comenzamos con la primera definición.
Un cuasigrupo ( Q , ∗) es un conjunto Q no vacío con una operación binaria ∗ (es decir, un magma , lo que indica que un cuasigrupo tiene que satisfacer la propiedad de cierre), obedeciendo a la propiedad del cuadrado latino . Esto indica que, para cada una y b en Q , existen elementos únicos x y y en Q tal que tanto
sostener. (En otras palabras: cada elemento del conjunto ocurre exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna de la tabla de multiplicar del cuasigrupo, o tabla de Cayley . Esta propiedad asegura que la tabla de Cayley de un cuasigrupo finito y, en particular, finito grupo, es un cuadrado latino .) El requisito de unicidad puede ser reemplazado por el requisito de que el magma sea cancelable . [2]
Las soluciones únicas a estas ecuaciones se escriben x = un \ b y y = b / a . Las operaciones '\' y '/' se denominan, respectivamente, división izquierda y división derecha .
El conjunto vacío equipado con la operación binaria vacía satisface esta definición de cuasigrupo. Algunos autores aceptan el cuasigrupo vacío, pero otros lo excluyen explícitamente. [3] [4]
