- Este artículo aborda la noción de cuasirregularidad en el contexto de la teoría de anillos , una rama del álgebra moderna . Para otras nociones de cuasirregularidad en matemáticas , consulte la página de desambiguación cuasirregular .
En matemáticas , específicamente en la teoría de anillos , la noción de cuasirregularidad proporciona una forma computacionalmente conveniente de trabajar con el radical de Jacobson de un anillo. [1] Intuitivamente, la cuasirregularidad captura lo que significa que un elemento de un anillo sea "malo"; es decir, tener propiedades indeseables. [2] Aunque un "elemento malo" es necesariamente cuasirregular, los elementos cuasirregulares no tienen por qué ser "malos", en un sentido bastante vago. En este artículo, nos preocupamos principalmente por la noción de cuasirregularidad para anillos unitales.. Sin embargo, una sección está dedicada a la teoría de cuasirregularidad en anillos no unitales, que constituye un aspecto importante de la teoría de anillos no conmutativos.
Definición
Deje que R sea un anillo (con unidad ) y dejar que r sea un elemento de R . Entonces se dice que r es cuasirregular , si 1 - r es una unidad en R ; es decir, invertible bajo multiplicación. [1] Las nociones de cuasirregularidad derecha o izquierda corresponden a situaciones en las que 1 - r tiene una inversa derecha o izquierda, respectivamente. [1]
Se dice que un elemento x de un anillo no unital es cuasirregular correcto si hay y tal que. [3] La noción de elemento cuasirregular izquierdo se define de manera análoga. El elemento y a veces se denomina cuasi-inverso a la derecha de x . [4] Si el anillo es unital, esta definición de cuasirregularidad coincide con la anterior. [5] Si uno escribe, entonces esta operación binaria es asociativo. [6] De hecho, el mapa(donde × denota la multiplicación del anillo R ) es un isomorfismo monoide. [5] Por lo tanto, si un elemento posee un cuasi-inverso izquierdo y derecho, son iguales. [7]
Tenga en cuenta que algunos autores utilizan definiciones diferentes. Llaman a un elemento x cuasirregular por la derecha si existe y tal que, [8] lo que equivale a decir que 1 + x tiene una inversa derecha cuando el anillo es unital. Si escribimos, luego , por lo que podemos pasar fácilmente de una configuración a otra cambiando los signos. [9] Por ejemplo, x es cuasirregular a la derecha en una configuración sif - x es cuasirregular a la derecha en la otra configuración. [9]
Ejemplos de
- Si R es un anillo, entonces la identidad aditiva de R es siempre cuasirregular.
- Si es derecha (resp. izquierda) cuasirregular, entonces es derecha (resp. izquierda) cuasirregular. [10]
- Si R es un rng, todo elemento nilpotente de R es cuasirregular. [11] Este hecho está respaldado por un cálculo elemental:
- Si , luego
- (o si seguimos la segunda convención).
- De esto vemos fácilmente que el cuasi inverso de x es (o ).
- En la segunda convención, una matriz es cuasirregular en un anillo de matriz si no posee -1 como valor propio . De manera más general, un operador acotado es cuasirregular si -1 no está en su espectro.
- En un álgebra de Banach unital, si , luego la serie geométrica converge. En consecuencia, cada x es cuasirregular.
- Si R es un anillo y S = R [[ X 1 , ..., X n ]] denota el anillo de la serie de potencias formales en n indeterminantes sobre R , un elemento de S es cuasirregular si y solo su término constante es cuasirregular como un elemento de R .
Propiedades
- Cada elemento del radical de Jacobson de un anillo (no necesariamente conmutativo) es cuasirregular. [12] De hecho, el radical de Jacobson de un anillo se puede caracterizar como el ideal derecho único del anillo, máximo con respecto a la propiedad de que cada elemento es cuasirregular correcto. [13] [14] Sin embargo, un elemento cuasirregular derecho no tiene por qué ser necesariamente un miembro del radical de Jacobson. [15] Esto justifica la observación al comienzo del artículo: los "elementos malos" son cuasirregulares, aunque los elementos cuasirregulares no son necesariamente "malos". Los elementos del radical Jacobson de un anillo a menudo se consideran "malos".
- Si un elemento de un anillo es nilpotente y central , entonces es un miembro del radical Jacobson del anillo. [16] Esto se debe a que el ideal de derecho principal generado por ese elemento consta únicamente de elementos cuasirregulares (de hecho, nilpotentes).
- Si un elemento, r , de un anillo es idempotente , no puede ser miembro del radical Jacobson del anillo. [17] Esto se debe a que los elementos idempotentes no pueden ser cuasirregulares. Esta propiedad, así como la anterior, justifican la observación que se hace en la parte superior del artículo de que la noción de cuasirregularidad es computacionalmente conveniente cuando se trabaja con el radical de Jacobson. [1]
Generalización a semirrings
La noción de elemento cuasirregular se generaliza fácilmente a semirríos . Si a es un elemento de un semiring S , entonces un mapa afín de S a sí mismo es. Se dice que un elemento a de S es cuasirregular correcto sitiene un punto fijo , que no tiene por qué ser único. Cada uno de estos puntos fijos se llama cuasi-inverso izquierdo de a . Si b es un cuasi inverso a la izquierda de a y además b = ab + 1, entonces b se llama cuasi inverso de a ; se dice que cualquier elemento del semirrígido que tiene un cuasi inverso es cuasirregular . Es posible que algunos, pero no todos los elementos de un semirremolque sean cuasirregulares; por ejemplo, en el semirrígido de reales no negativos con la habitual suma y multiplicación de reales, tiene el punto fijo para todo a <1, pero no tiene un punto fijo para a ≥ 1. [18] Si cada elemento de un semiring es cuasirregular entonces el semiring se llama semiring cuasi-regular , semiring cerrado , [19] u ocasionalmente un semiring de Lehmann [ 18] (este último en honor al artículo de Daniel J. Lehmann. [20] )
Los álgebras de Kleene (entre ellos, el álgebra de las expresiones regulares ) proporcionan ejemplos de semirrings cuasi-inversos, en los que el cuasi-inverso se eleva al papel de una operación unaria (denotada por un *) definida como el punto menos fijo solución. Las álgebras de Kleene son aditivamente idempotentes, pero no todos los semirrigidos cuasi regulares lo son. Podemos extender el ejemplo de los reales no negativos para incluir el infinito y se convierte en un semirrígido cuasi-regular con el cuasi inverso de cualquier elemento a ≥ 1 siendo el infinito. Sin embargo, este semirrelleno casi regular no es aditivamente idempotente, por lo que no es un álgebra de Kleene. [19] Sin embargo, es un semirrígido completo . [21] De manera más general, todos los semirríos completos son cuasirregulares. [22] En realidad, algunos autores utilizan el término semirrígido cerrado para referirse a semirrígido completo en lugar de simplemente cuasirregular. [23] [24]
Los semirremolques de Conway también son cuasirregulares; los dos axiomas de Conway son realmente independientes, es decir, hay semirings que satisfacen solo el axioma producto-estrella [Conway], ( ab ) * = 1+ a ( ba ) * b , pero no el axioma suma-estrella, ( a + b ) * = ( a * b ) * a * y viceversa; es el axioma de producto-estrella [Conway] que implica que un semiring es cuasirregular. Además, un semirecolado conmutativo es cuasirregular si y solo si satisface el axioma producto-estrella de Conway. [18]
Los semirrings cuasirregulares aparecen en problemas de camino algebraico , una generalización del problema de camino más corto . [19]
Ver también
- elemento inverso
Notas
- ↑ a b c d Isaacs, pág. 180
- ^ Isaacs, pág. 179
- ^ Lam, ej. 4.2, pág. 50
- ^ Polcino y Sehgal (2002), p. 298 .
- ^ a b Lam, ej. 4.2 (3), pág. 50
- ^ Lam, ej. 4.1, pág. 50
- ^ Dado que 0 es la identidad multiplicativa, si, luego . La cuasirregularidad no requiere que el anillo tenga una identidad multiplicativa.
- ^ Kaplansky, pág. 85
- ↑ a b Lam, pág. 51
- ^ Kaplansky, pág. 108
- ^ Lam, ej. 4.2 (2), pág. 50
- ↑ Isaacs, Teorema 13.4 (a), p. 180
- ↑ Isaacs, Teorema 13.4 (b), p. 180
- ↑ Isaacs, Corolario 13.7, p. 181
- ^ Isaacs, pág. 181
- ↑ Isaacs, Corolario 13.5, p. 181
- ↑ Isaacs, Corolario 13.6, p. 181
- ↑ a b c Jonathan S. Golan (30 de junio de 2003). Semirings y ecuaciones afines sobre ellos . Springer Science & Business Media. págs. 157-159 y 164-165. ISBN 978-1-4020-1358-4.
- ^ a b c Marc Pouly; Jürg Kohlas (2011). Inferencia genérica: una teoría unificadora para el razonamiento automatizado . John Wiley e hijos. págs. 232 y 248–249. ISBN 978-1-118-01086-0.
- ^ Lehmann, DJ (1977). "Estructuras algebraicas para cierre transitivo" (PDF) . Informática Teórica . 4 : 59–76. doi : 10.1016 / 0304-3975 (77) 90056-1 .
- ^ Droste, M. y Kuich, W. (2009). Serie Semirings y Poder Formal. Manual de autómatas ponderados , 3–28. doi : 10.1007 / 978-3-642-01492-5_1 , págs. 7-10
- ^ U. Zimmermann (1981). Optimización lineal y combinatoria en estructuras algebraicas ordenadas . Elsevier. pag. 141. ISBN 978-0-08-086773-1.
- ^ Dexter Kozen (1992). El diseño y análisis de algoritmos . Springer Science & Business Media. pag. 31. ISBN 978-0-387-97687-7.
- ^ JA Storer (2001). Introducción a las estructuras de datos y los algoritmos . Springer Science & Business Media. pag. 336. ISBN 978-0-8176-4253-2.
Referencias
- I. Martin Isaacs (1993). Álgebra, un curso de posgrado (1ª ed.). Brooks / Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
- Irving Kaplansky (1969). Campos y Anillos . Prensa de la Universidad de Chicago.
- Lam, Tsit-Yuen (2003). Ejercicios de teoría clásica de anillos . Libros de problemas de matemáticas (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-0387005003.
- Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Una introducción a los anillos grupales . Saltador. ISBN 978-1-4020-0238-0.