En matemáticas , específicamente en la teoría de anillos , un ideal principal es un ideal en un anillo que es generado por un solo elemento de a través de la multiplicación por cada elemento de El término también tiene otro significado similar en la teoría del orden , donde se refiere a un ideal (de orden) en un poset. generado por un solo elemento es decir, el conjunto de todos los elementos menores o iguales a en
El resto de este artículo aborda el concepto de teoría del anillo.
Definiciones
- un ideal principal de izquierda dees un subconjunto de dada por por algún elemento
- un ideal principal correcto de es un subconjunto de dada por por algún elemento
- un ideal principal de dos caras de es un subconjunto de dada por por algún elemento es decir, el conjunto de todas las sumas finitas de elementos de la forma
Si bien esta definición de ideal principal bilateral puede parecer más complicada que las otras, es necesario asegurarse de que el ideal permanezca cerrado bajo la adición. [ cita requerida ]
Si es un anillo conmutativo con identidad, entonces las tres nociones anteriores son todas iguales. En ese caso, es común escribir el ideal generado por como o
Ejemplos de ideal no principal
No todos los ideales son principales. Por ejemplo, considere el anillo conmutativode todos los polinomios en dos variables y con coeficientes complejos . El ideal generado por y que consta de todos los polinomios en que tienen cero para el término constante , no es principal. Para ver esto, suponga que fueron un generador para Luego y ambos serían divisibles por lo cual es imposible a menos que es una constante distinta de cero. Pero cero es la única constante enentonces tenemos una contradicción .
En el ring los números donde es incluso formar un ideal no principal. Este ideal forma una celosía hexagonal regular en el plano complejo. Considerar y Estos números son elementos de este ideal con la misma norma (dos), pero debido a que las únicas unidades en el anillo son y no son asociados.
Definiciones relacionadas
Un anillo en el que todo ideal es principal se llama principal o un anillo ideal principal . Un dominio ideal principal (PID) es un dominio integral en el que todo ideal es principal. Cualquier PID es un dominio de factorización único ; la prueba normal de factorización única en los números enteros (el llamado teorema fundamental de la aritmética ) se cumple en cualquier PID.
Ejemplos de ideal principal
Los principales ideales en son de la forma De echo, es un dominio ideal principal, que se puede mostrar de la siguiente manera. Suponer dónde y considere los homomorfismos sobreyectivos Desde es finito, para lo suficientemente grande tenemos Por lo tanto lo que implica siempre se genera de forma finita. Desde el ideal generado por cualquier número entero y es exactamente por inducción sobre el número de generadores se deduce que es principal.
Sin embargo, todos los anillos tienen ideales principales, es decir, cualquier ideal generado por exactamente un elemento. Por ejemplo, el ideal es un ideal principal de y es un ideal principal de De echo, y son los principales ideales de cualquier anillo
Propiedades
Cualquier dominio euclidiano es un PID ; el algoritmo utilizado para calcular los máximos divisores comunes se puede utilizar para encontrar un generador de cualquier ideal. De manera más general, dos ideales principales cualesquiera en un anillo conmutativo tienen un máximo común divisor en el sentido de multiplicación ideal. En los principales dominios ideales, esto nos permite calcular los máximos divisores comunes de los elementos del anillo, hasta la multiplicación por una unidad ; definimos ser cualquier generador del ideal
Por un dominio de Dedekind también podemos preguntar, dado un ideal no principal de si hay alguna extensión de tal que el ideal de generado por es principal (dicho más libremente, se convierte en principal en). Esta pregunta surgió en relación con el estudio de anillos de números enteros algebraicos (que son ejemplos de dominios de Dedekind) en la teoría de números y condujo al desarrollo de la teoría de campos de clases por Teiji Takagi , Emil Artin , David Hilbert y muchos otros.
El principal teorema ideal de la teoría de campos de clases establece que todo anillo entero(es decir, el anillo de números enteros de algún campo numérico ) está contenido en un anillo de números enteros más grandeque tiene la propiedad de que todo ideal de se convierte en un ideal principal de En este teorema podemos tomar ser el anillo de enteros del campo de clase Hilbert de; es decir, la extensión abeliana no ramificada máxima (es decir, la extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano ) del campo de fracción de y esto está determinado únicamente por
El principal teorema del ideal de Krull establece que si es un anillo noetheriano y es un ideal principal y propio de luego tiene altura como máximo uno.
Ver también
Referencias
- Gallian, Joseph A. (2017). Álgebra abstracta contemporánea (9ª ed.). Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-305-65796-0.