Acción de grupo de mentiras

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En geometría diferencial , una acción de grupo de Lie es una acción de grupo adaptada a la configuración suave: G es un grupo de Lie , M es una variedad suave y el mapa de acción es diferenciable .

Sea una acción de grupo (izquierda) de un grupo de Lie G en una variedad suave M; se llama acción de grupo de Lie (o acción suave) si el mapa es diferenciable. De manera equivalente, una acción de grupo de Lie de G sobre M consiste en un homomorfismo de grupo de Lie . Una variedad suave dotada de una acción de grupo de Lie también se llama variedad G.${\displaystyle \sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x}$${\ estilo de visualización \ sigma}$ ${\displaystyle G\to \mathrm {Dif} (M)}$

El hecho de que el mapa de acción sea fluido tiene un par de consecuencias inmediatas:${\ estilo de visualización \ sigma}$

Olvidando la estructura fluida, una acción grupal de Lie es un caso particular de una acción grupal continua .

Siguiendo el espíritu de la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie, las acciones del grupo de Lie también se pueden estudiar desde el punto de vista infinitesimal. De hecho, cualquier acción de grupo de Lie induce una acción de álgebra de Lie infinitesimal sobre M, es decir, un homomorfismo de álgebra de Lie . Intuitivamente, esto se obtiene diferenciando en la identidad el homomorfismo del grupo de Lie e interpretando el conjunto de campos vectoriales como el álgebra de Lie del grupo de Lie (de dimensión infinita) .${\ estilo de visualización \ sigma: G \ veces M \ a M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\a {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle G\to \mathrm {Dif} (M)}$${\displaystyle {\mathfrak{X}}(M)}$${\displaystyle \mathrm {Diferencia} (M)}$

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